中考数学复习指导：例说动点运动路径问题

例说动点运动路径问题

动态几何题是近几年中考试题的一大热点题型，求动点所经过的路径这类试题能全面考查通过数学思考解决问题的综合应用能力，近年来它常存在于压轴题的最后一问，倍受各地中考命题者的青睐．

解决动点所经过的路径，方法可以归纳为：先确定运动的路径是直线形，还是弧线形，然后确定下列两个类型中的一个：(1)如果是动点到定直线的距离相等，即是线段形，只需要取起始点和终止点的两个定点：问题即可解决；(2)如果是运点到某一定点距离相等，即是弧线形，亦只需确定始点和终止点的两个定点，再围绕弧长的计算公式寻找半径和圆心角问题即可解决．以下分类举例说明． 类型1

例1 已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．

分析 此类问题是上述第(1)种情形．

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例2 如图2，矩形ABOD中，AB＝6，AD＝8，M是边AD上的点，且AM：MD＝1：3，点E从点A出发，沿AB运动到点曰停止，连接EM并延长交射线OD于点F，过点M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FC．

(1)设AE＝t，试写出△EFG的面积S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

(2)若P是MG的中点，在E点运动的整个过程中，点P到直线CB的距离是否为定值？请说明理由；

(3)请直接写出E点运动的整个过程中点P的运动路线的长．

分析 (1)(2)略；

(3)由(2)知，在E点运动的整个过程中，点P到x轴的距离是定值3，所以点P的运动路径是一条平行于BG的线段．如图3，分别作出E与A重合，E与B重合时P点的位置P1，P2，则P1P2即为点P运动的路径的长，即可求出P的运动路线长为G1G2的一半，P1P2＝9．

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类型2

例3 △ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边上的高，如图4．A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面上滑动．如图5，设运动时间表为t秒，当B到达原点时停止运动． (1)当t＝0时，求点C的坐标；

(2)当t＝4时，求OD的长及∠BAO的大小； (3)求从t＝0到t＝4这一时段，点D运动路线的长；

(4)当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．

分析 (1)、(2)、(4)略．

(3)根据(2)，动点D到定点O距离始终相等，等于AB的一半．因此动点D的运动路线是弧线段，只需确定始点(t＝0)OB的中点和终止点(t＝4)的两个定点，如图5．从t＝0到t＝4这一时段点D运动路线是弧DD1，其中，OD＝OD1＝4．

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总之，求解动点运动问题的关键是把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”．首先要分清运动的轨迹是线段还是弧，然后确定起始点和终止点，再作出相应的草图就能解决问题．

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