同底指数函数与对数函数图象交点个数

同底指数函数与对数函数图象交点个数

必修一教材第76页有这样一个探究：指数函数y?ax(a?0且a?1)与对数函数

y?logax(a?0且a?1)互为反函数，那么它们图象有什么关系呢？

通过探究发现，我们容易知道它们的图象关于直线y?x对称，那么它们图象交点有几个呢？教科书上为何没有把它们两者图象画在同一坐标系下？

这是一个探究价值很高的问题，教材这样处理，主要原因是这两个函数图象交点个数不定.下面我们一起来研究下.

分a?1和0?a?1两者情况进行讨论. 1. 当a?1时

在几何画板中，画出y?2x与y?log2x图象，发现它们没有公共点（如图1）.

x当底数a(a?1)逐渐变小时，y?a(a?1)与y?logax(a?1)图象与y?x逐渐接

近，然后相切（如图2），再相交（如图3），而且我们清楚地看到它们交点在y?x上.

x

图1 图2 图3

事实上，由反函数图象对称性知，确实如此，所以研究y?a(a?1)与

y?logax(a?1)图象交点情况即研究y?ax(a?1)与y?x图象交点情况.

?y?ax下面，我们从“临界状态”入手研究，从代数角度看只需联立方程??ax?x?0?y?x让方程只有一个根即可，属于超越方程，无法用常规方法解，利用导数（选修2-2中知识）解法如下：

11??a?x?a?xx???xlnxx?1?lnx?1 ?x?x?a?1??alna?1x??∴x?e,得ae?e,即a?e1e1e

x所以，当a?e时，函数y?a与y?logax图象与y?x相切.

根据指对数函数单调性以及以上分析得：

当a?e时，函数y?ax与y?logax图象有0个交点； 当a?e时，函数y?ax与y?logax图象有1个交点； 当1?a?e时，函数y?ax与y?logax图象有2个交点. 2. 当0?a?1时

x1e1e1e?1?同样地，我们也在几何画板中画出y???与y?log1x图象，发现它们有一个交点

?2?2（如图4）.

当底数a(0?a?1)逐渐变小时，我们惊奇地发现y?ax(0?a?1)与

y?logax(0?a?1)图象出现了3个交点（如图5）.

图4 图5

x由函数的单调性和连续性知，当0?a?1时，y?a(0?a?1)与

y?logax(0?a?1)图象不可能相切，所以交点情况只有1个或者3个.

同样地，我们也可以用导数解出临界状态时的a的值，类似的，我们得到以下结论： 当e?a?a?1时，函数y?ax与y?logax图象有1个交点；

?a当0?a?e综上所述，

时，函数y?a与y?logax图象有3个交点.

xx当a?e时，函数y?a与y?logax图象有0个交点；

1e当a?e或e1e1e?a?a?1时，函数y?ax与y?logax图象有1个交点；

x当1?a?e时，函数y?a与y?logax图象有2个交点； 当0?a?e?a时，函数y?a与y?logax图象有3个交点.

x

微练习： 1．下列命题

（m,n）（n,m）① 若点在函数y?ax图象上，则点在函数y?logax图象上

② 当a?1时，函数y?logax的图象与直线y?x无公共点

（m,n）③ 若点既在函数y?ax图象上，也在函数y?logax图象上，则m?n

④ 当0?a?1时，函数y?ax的图象与直线y?x有且只有一个公共点 其中正确的命题的个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知a?1,则方程ax?|logax|实根的个数为（ ） A．1个 B．2个

C．1个或2个 D．1个或2个或3个

3．已知0?a?1，则方程a|x|?|logax|的实根的个数为（ ） A．2个 B．3个 C．2个或3个 D．2个或4个 【答案】

1.①由反函数图象对称性知正确；②当a?1时，函数y?logax的图象与直线y?x可能

x有0个或1个或2个交点，所以错误；③当0?a?1时，函数y?a与函数y?logax交x点有3个时，其中2个不在y?x上，所以错误；④当0?a?1时，函数y?a与直线只

有一个交点，所以正确.故选C.

2.由函数与方程思想知，方程的根的个数即函数y?ax与函数y?logax图象交点个数，而y?logax是把y?logax图象在x轴下方部分作关于x轴对称，又因为当a?1时，函数y?a与函数y?logax图象交点可能有0个或1个或2个，所以ax?|logax|实根个数可能是1个或2个或3个，故选D.

|x|（0,1）???3.当0?a?1时，方程a?|logax|在区间内实根个数是1个或3个，在区间?1，|x|内的实根个数为1个，所以0?a?1时，方程a?|logax|实根个数为2个或4个，故选

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