数列应用题常见模型

数列应用题常见模型 (1) 银行储蓄单利公式

利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋rx)． (2) 银行储蓄复利公式

按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋r)x(x∈N且x>1)．

(3) 产值模型

原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝N(1＋p)x(x∈N且x>1)．

(4)分期付款模型

设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成n次付清，每期期末ar?1＋r?n

所付款是x元，每期利率为r，则x＝(n∈N且n>1)．

?1＋r?n－1

案例分析

1、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.

(1) 求第n年初M的价值an的表达式；

a1＋a2＋…＋an

(2) 设An＝.若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M

n进行更新．证明：须在第9年初对M进行更新．

(1) 解：当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列． 故an＝120－10(n－1)＝130－10n；

3?3

当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×??4?4

n－6.

因此，第n年初，M的价值an的表达式为 130－10n，n≤6??an＝??3?n－6，n≥7. 70×??4??

(2) 证明：设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)， An＝120－5(n－1)＝125－5n； 当n≥7时，由于S6＝570，故

3?3?n－6?＝780－210×?3?n－6， Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×?1－??4???4?4

3?n－6

780－210×??4?n

An＝.

因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列．

3?2?3?3

780－210×?780－210×?4??4?4779

又A8＝＝82>80，A9＝＝76<80，

864996

所以须在第9年初对M进行更新．

2. 从2006年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2012年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为________万元．

1

答案：[(1＋p)7－(1＋p)]

p

解析：存款从后向前考虑(1＋p)＋(1＋p)2＋…＋(1＋p)6＝

?1＋p?[?1＋p?6－1]1

＝[(1＋p)7

9p

－(1＋p)]．

3.银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利.

甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；

乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．

两种方案的期限都是10年，到期一次性归还本息，若银行贷款利润均以年息10%的复利计算，试比较两个方案哪个获得纯利润更多？(计算精确到千元，参考数据：1.110＝2.594,1.310＝13.796)

解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：

1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝

1.310－1

＝42.62(万元)，到期时银行的本息

1.3－1

和为10×(1＋10%)10＝10×2.595＝25.94(万元)．

所以甲方案扣除本息后的净获利为42.62－25.94≈16.7(万元)．

乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)＝

10?1＋5.5?

＝32.50(万元)，贷款的本利和为1.1[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝2

1.110－11.1×＝17.53(万元)，所以乙方案扣除本息后的净获利为32.50－17.53≈15.0(万元)．

1.1－1

综上，甲方案的获利较多．