(优辅资源)安徽省黄山市高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

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又PB?平面AEC，EO?平面AEC， ∴PB∥平面AEC．

（Ⅱ）由题可知AB，AD，AP两两垂直，则分别以AB、AD、AP的方向为坐标轴方向建立空间直角坐标系． 设由PB?2AB可得AP＝AB， 于是可令AP＝AB＝AD＝2，则

A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（1，1，1）

设平面CAF的一个法向量为n?(x,1,0)．由于AC?(2,2,0)， 所以ACn?(2,2,0)(x,1,0)?2x?2?0，解得

x＝－1，所以n?(?1,1,0)．

因为y轴?平面DAF，所以可设平面DAF的一个法向量为

m?(1,0,z)．

由于AF?(1,1,1)，所以AF所以m?(1,0,?1)． 故|cosm,n|?m?(1,1,1)(1,0,z)?1?z?0，解得z＝－1，

|mn|1?．所以二面角|m||n|2C—AF—D的大小为60°．

1?MB321．解：（Ⅰ）∵A（a，0），B（0，b），MA1． b）4，所以M（3a，

4∴kOM?b1?，解得3a6a＝2b，

E的离心率e为32c于是e??aa2?b23?，∴椭圆a2．

x2＋4y2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＝2b，∴椭圆E＝4b2（1）

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x2y2的方程为2?2?1即

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依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且|PQ|?25．

由对称性可知，PQ与x轴不垂直，设其直线方程为y＝k（x－2）＋1，代入（1）得：

（1＋4k2）x2－8k（2k－1）x＋4（2k－1）2－4b2＝0 设

4(2k?1)2?4b28k(2k?1)P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1?x2?，x1x2?1?4k21?4k22?2得

8k(2k?1)1，解得． ?4k??21?4k2，

由x1?x2从而x1x2＝8－2b2．于是

|PQ|?1?k2|x1?x2|?2

2

5(x1?x2)2?4x1x2?52b2?4?25． 2解得：b＝4，a＝16，∴椭圆E

x2y2的方程为??1．

1641f(x)??3ln(x?3)?x2?x222．解：（Ⅰ）∵a＝－3，∴

f?(x)??x(x?2) )x(??3x?3，故

令f′（x）＜0，解得－3＜x＜－2或x＞0，

即所求的单调递减区间为（－3，－2）和（0，＋∞） （Ⅱ）∵f?(x)?a?x[x?(a?1)]（x＞a） ?x?1?x?ax?a令f′（x）＝0，得x＝0或x＝a＋1

（1）当a＋1＞0，即－1＜a＜0时，f（x）在（a，0）和（a＋1，＋∞）上为减函数，在（0，a＋1）上为增函数．

由于f（0）＝aln（－a）＞0，当x→a时，f（x）→＋∞． 当x→＋∞时，f（x）→－∞，于是可得函数f（x）图像的草图如图，

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此时函数f（x）有且仅有一个零点．

即当－1＜a＜0对，f（x）有且仅有一个零点； （2）当a＝－1时，f(x)??ln(x?1)?1x2?x，

2∵

?x2f?(x)?≤0，∴f（x）在（a，＋∞）单调递减，

x?1又当x→－1时，f（x）→＋∞．当x→＋∞时，f（x）→－∞， 故函数f（x）有且仅有一个零点；

（3）当a＋1＜0即a＜－1时，f（x）在（a，a＋1）和（0，＋∞）上为减函数，在（a＋1，0）上为增函数．又f（0）＝aln（－a）＜0，当x→a时，f（x）→＋∞，当x→＋∞时，f（x）→－∞，于是可得函数f（x）图像的草图如图，此时函数f（x）有且仅有一个零点；

综上所述，所求的范围是a＜0．

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