吉林大学珠海学院概率练习册第5章答案

第五章

一、填空题 1．设E(X)89??，D(X)??2，则由利用切比雪夫不等式知P{|X??|?3?}?

；

，若由切比雪夫不等式有

132．设随机变量

X~U[?1,3]P{|X?1|??}?，则

??____2_______；

二、计算题 1．在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计：在1000次独立重复试验中，事件A发生的次数在400~600之间的概率.

解：设X表示“在1000次独立重复试验中事件A发生的次数”，则

X~B(1000,0.5)，而且E(X)?500，D(X)?250。

依题意P{400?X?600}?P{400?500?X?500?600?500}

?P{?100?X?E(X)?100} ?P{|X?E(X)|?100}

?1?D(X)1002?1?250010000?0.975.

2．设某电路系统由100个相互独立起作用的部件所组成.每个部件正常工作的概率为0.9.为了使整个系统起作用,至少必须有87个部件正常工作,试用中心极限定理求整个系统起作用的概率。（注：?(1)数）

解：由题意，设XiX1,X2,?,X100i?1,2,?,100?0.84，这里?(x)为标准正态分布函

第i个部件正常工作?1,???0，第i个部件未正常工作B[100,0.9] ，

i?1,2,?,100。

D(Xi)?0.09相互独立均服从

E(Xi)?0.9，，

。

100用X表示100次计算产生的总误差，则XD(X)?100?0.09?9??i?1Xi，E(X)?100?0.9?90，

。

100由独立同分布中心极限定理知X近似??i?1Xi~N(90,9)。所求

100YP{?i?1Xi?87}?1??(87?903)

?1??(?1)??(1)?0.84。

11,]223．计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则。为简单计，现在对小数点后面第一位进行舍入运算，则可以认为误差服从[?上的均匀分布。若在一项

计算中进行了48次运算，试用中心极限定理求总误差落在区间[?2,2]上的概率。（注：?(1)?0.84，这里?(x)为标准正态分布函数）

?1,2,?,48解：由题意，设Xi：第i次计算产生的误差，iX1,X2,?,X。

?112i，

?1,2,?,48相互独立均服从U[?4811,]，E(Xi)?022?，D(Xi)X。

48用X表示48次计算产生的总误差，则XD(X)?48?112?4?i?1i，E(X)?48?0?00，

。

48由独立同分布中心极限定理知X48近似??i?1Xi~N(0,4)。所求

P{?2??i?1Xi?2}??(2?02)??(?2?02)

?2?(1)?1?0.68。