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第四章 统计数据的概括性度量
4．1 一家汽车零售店的10名销售人员5月份销售的汽车数量(单位：台)排序后如下： 2 4 7 10 10 10 12 12 14 15 要求：
（1）计算汽车销售量的众数、中位数和平均数。 (2)根据定义公式计算四分位数。 (3)计算销售量的标准差。
(4)说明汽车销售量分布的特征。 解：
Statistics
汽车销售数量 N Mean Median Mode Std. Deviation Percentiles
25 50 75 Valid Missing
10 0 9.60 10.00 10 4.169 6.25 10.00 12.50 4．2 随机抽取25个网络用户，得到他们的年龄数据如下： 单位：周岁
19 15 29 25 24 23 21 38 22 18 30 20 19 19 16 23 27 22 34 24 41 20 31 17 23
要求；
(1)计算众数、中位数：
排序形成单变量分值的频数分布和累计频数分布：
网络用户的年龄 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Valid 24 25 27 29 30 31 34 38 41 Total Frequency 1 1 1 1 3 2 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 25 Percent 4.0 4.0 4.0 4.0 12.0 8.0 4.0 8.0 12.0 8.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 100.0 Cumulative Frequency 1 2 3 4 7 9 10 12 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Cumulative Percent 4.0 8.0 12.0 16.0 28.0 36.0 40.0 48.0 60.0 68.0 72.0 76.0 80.0 84.0 88.0 92.0 96.0 100.0 从频数看出，众数Mo有两个：19、23；从累计频数看，中位数Me=23。 (2)根据定义公式计算四分位数。
Q1位置=25/4=6.25，因此Q1=19，Q3位置=3×25/4=18.75，因此Q3=27，或者，由于25和27都只有一个，因
此Q3也可等于25+0.75×2=26.5。 (3)计算平均数和标准差；
Mean=24.00；Std. Deviation=6.652 (4)计算偏态系数和峰态系数： Skewness=1.080；Kurtosis=0.773
(5)对网民年龄的分布特征进行综合分析：
分布，均值=24、标准差=6.652、呈右偏分布。如需看清楚分布形态，需要进行分组。 为分组情况下的直方图：
为分组情况下的概率密度曲线： 分组：
1、确定组数： K?1?lg?2?5lgn()1.398?1??1??5.64k=6 ，取
lg(2)lg20.301032、确定组距：组距＝( 最大值 - 最小值)÷ 组数=（41-15）÷6=4.3，取5
3、分组频数表
网络用户的年龄 (Binned) <= 15 16 - 20 21 - 25 Valid 26 - 30 31 - 35 36 - 40 41+ Total Frequency 1 8 9 3 2 1 1 25 Percent 4.0 32.0 36.0 12.0 8.0 4.0 4.0 100.0 Cumulative Frequency 1 9 18 21 23 24 25 Cumulative Percent 4.0 36.0 72.0 84.0 92.0 96.0 100.0 Mean Std. Deviation Variance Skewness Kurtosis 23.3000 7.02377 49.333 1.163 1.302 分组后的均值与方差： 分组后的直方图：
4．3 某银行为缩短顾客到银行办理业务等待的时间。准备采用两种排队方式进行试验：一种是所有颐客都进入一个等待队列：另—种是顾客在三千业务窗口处列队3排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短．两种排队方式各随机抽取9名顾客。得到第一种排队方式的平均等待时间为7．2分钟，标准差为1．97分钟。第二种排队方式的等待时间(单位：分钟)如下：
5．5 6．6 6．7 6．8 7．1 7．3 7．4 7．8 7．8 要求：
(1)画出第二种排队方式等待时间的茎叶图。
第二种排队方式的等待时间(单位：分钟) Stem-and-Leaf Plot
Frequency Stem & Leaf
1.00 Extremes (=<5.5) 3.00 6 . 678 3.00 7 . 134 2.00 7 . 88 Stem width: 1.00
Each leaf: 1 case(s)
(2)计算第二种排队时间的平均数和标准差。
Mean
Std. Deviation Variance
(3)比较两种排队方式等待时间的离散程度。 第二种排队方式的离散程度小。
7 0.714143
0.51
(4)如果让你选择一种排队方式，你会选择哪—种？试说明理由。 选择第二种，均值小，离散程度小。
4．4 某百货公司6月份各天的销售额数据如下： 单位：万元
257 276 297 252 238 310 240 271 292 261 281 301 274 267 272 284 268 303 273 263 322
要求：
(1)计算该百货公司日销售额的平均数和中位数。 (2)按定义公式计算四分位数。 (3)计算日销售额的标准差。 解：
Statistics
百货公司每天的销售额（万元） N Mean Median Std. Deviation Percentiles
25 50 75 Valid Missing
236 280 249 265 291 269 278 258 295
30 0
274.1000 272.5000 21.17472 260.2500 272.5000 291.2500
4．5 甲乙两个企业生产三种产品的单位成本和总成本资料如下： 产品 单位成本 总成本(元) 名称 A B C (元) 15 20 30 甲企业 2 100 3 000 1 500 乙企业 3 255 1 500 1 500 要求：比较两个企业的总平均成本，哪个高，并分析其原因。 甲企业 乙企业 产品名称 单位成本(元) 总成本(元) 产品数 总成本(元) 产品数 A 15 2100 140 3255 217 B 20 3000 150 1500 75 C 30 1500 50 1500 50 19.41176471 18.28947368 平均成本（元） 调和平均数计算，得到甲的平均成本为19.41；乙的平均成本为18.29。甲的中间成本的产品多，乙的低成本的产品多。
4．6 在某地区抽取120家企业，按利润额进行分组，结果如下： 按利润额分组(万元) 企业数(个) 200~300 300~400 400~500 500~600 600以上 合 计 要求： (1)计算120家企业利润额的平均数和标准差。 (2)计算分布的偏态系数和峰态系数。 解：
Statistics
企业利润组中值Mi（万元）
19 30 42 18 11 120 N Mean Std. Deviation Skewness
Std. Error of Skewness Kurtosis
Std. Error of Kurtosis
Valid Missing
120 0
426.6667 116.48445
0.208 0.221 -0.625 0.438 4．7 为研究少年儿童的成长发育状况，某研究所的一位调查人员在某城市抽取100名7～17岁的少年儿童作为样本，另一位调查人员则抽取了1 000名7～17岁的少年儿童作为样本。请回答下面的问题，并解释其原因。 (1)两位调查人员所得到的样本的平均身高是否相同?如果不同，哪组样本的平均身高较大? (2)两位调查人员所得到的样本的标准差是否相同?如果不同，哪组样本的标准差较大?
(3)两位调查人员得到这l 100名少年儿童身高的最高者或最低者的机会是否相同?如果不同，哪位调查研究人员的机会较大? 解：（1）不一定相同，无法判断哪一个更高，但可以判断，样本量大的更接近于总体平均身高。 （2）不一定相同，样本量少的标准差大的可能性大。
（3）机会不相同，样本量大的得到最高者和最低者的身高的机会大。
4．8 一项关于大学生体重状况的研究发现．男生的平均体重为60kg，标准差为5kg；女生的平均体重为50kg，标准差为5kg。请回答下面的问题：
(1)是男生的体重差异大还是女生的体重差异大?为什么?
女生，因为标准差一样，而均值男生大，所以，离散系数是男生的小，离散程度是男生的小。 (2)以磅为单位(1ks＝2．2lb)，求体重的平均数和标准差。
都是各乘以2.21，男生的平均体重为60kg×2.21=132.6磅，标准差为5kg×2.21=11.05磅；女生的平均体重为50kg×2.21=110.5磅，标准差为5kg×2.21=11.05磅。
(3)粗略地估计一下，男生中有百分之几的人体重在55kg一65kg之间? 计算标准分数： Z1=
x?x55?60x?x65?60==-1；Z2===1，根据经验规则，男生大约有68%的人体重在55kg一65kgs5s5之间。
(4)粗略地估计一下，女生中有百分之几的人体重在40kg～60kg之间? 计算标准分数： Z1=
x?x40?50x?x60?50==-2；Z2===2，根据经验规则，女生大约有95%的人体重在40kg一60kgs5s5之间。
4．9 一家公司在招收职员时，首先要通过两项能力测试。在A项测试中，其平均分数是100分，标准差是15分；在B项测试中，其平均分数是400分，标准差是50分。一位应试者在A项测试中得了115分，在B项测试中得了425分。与平均分数相比，该应试者哪一项测试更为理想? 解：应用标准分数来考虑问题，该应试者标准分数高的测试理想。 ZA=
x?x115?100x?x425?400==1；ZB===0.5 s15s50因此，A项测试结果理想。
4．10 一条产品生产线平均每天的产量为3 700件，标准差为50件。如果某一天的产量低于或高于平均产量，并落人士2个标准差的范围之外，就认为该生产线“失去控制”。下面是一周各天的产量，该生产线哪几天失去了控制? 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 产量(件) 3 850 3 670 3 690 3 720 3 610 3 590 3 700 周四 周五 周六 周日 3720 3610 3590 3700 3700 50 0.4 -1.8 -2.2 0 -2 -2 -2 -2 2 2 2 2 时间 周一 周二 周三 3850 3670 3690 产量(件) 日平均产量 日产量标准差 3 -0.6 -0.2 标准分数Z -2 -2 -2 标准分数界限 2 2 2
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