高2020届高2017级三维设计一轮复习理科数学课时跟踪检测(三十一) 三角函数与平面向量的难点问题集释

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课时跟踪检测(三十一) 三角函数与平面向量的难点问题集释

1.在非等边三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边,如果sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C,则角A的取值范围为( )

π

0，? A.??2?ππ?C.??6，3?

ππ?

B.??4，2? ππ?D.??3，2?

解析：选D 由题意得sin2A＜sin2B＋sin2C,由正弦定理得a2＜b2＋c2,即b2＋c2－a2＞b2＋c2－a2ππ

0,则cos A＝＞0.因为0＜A＜π,所以0＜A＜,又a为最大边,所以A＞,即角A的

2bc23ππ?

取值范围为??3，2?.

2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A－sin B＝则△ABC的面积的最大值为( )

33

A.

433C.

2

B.D.3 43 2

c?sin A－sin C?c?a－c?

,可得a－b＝,得a2

a＋ba＋b

c?sin A－sin C?

,b＝3,

a＋b

解析：选A 根据正弦定理由sin A－sin B＝

2

2

2

2

a2＋c2－b21π

－b＝c(a－c),即a＋c－b＝ac,故＝＝cos B,∵B∈(0,π),∴B＝.又由b＝3,

2ac23可得a2＋c2＝ac＋3,故a2＋c2＝ac＋3≥2ac,即ac≤3,当且仅当a＝c＝3时取等号,故ac的1π33最大值为3,这时△ABC的面积取得最大值,为×3×sin＝. 234

3.在钝角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B为钝角,若acos A＝bsin A,则sin A＋sin C的最大值为( )

A.2 C.1

9B. 87D. 8

解析：选B ∵acos A＝bsin A,由正弦定理可得,sin Acos A＝sin Bsin A,∵sin A≠0,∴cos π

A＝sin B,又B为钝角,∴B＝A＋,sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋cos 2A＝sin A＋

219

sin A－?2＋, 1－2sin2A＝－2?4?8?

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9

∴sin A＋sin C的最大值为.

8

4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a＝bcos C＋csin B,且△ABC的面积为1＋2,则b的最小值为( )

A.2 C.2

B.3 D.3

解析：选A 由a＝bcos C＋csin B及正弦定理,得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B,即sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Csin B,得sin Ccos B＝sin Csin B,又sin C≠0,所以tan B＝1.因为B∈π1

(0,π),所以B＝.由S△ABC＝acsin B＝1＋2,得ac＝22＋4.又b2＝a2＋c2－2accos B≥2ac

42－2ac＝(2－2)(4＋22)＝4,当且仅当a＝c时等号成立,所以b≥2,b的最小值为2,故选A.

5.(2019·合肥质检)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C.若a＝3,则b2＋c2的取值范围是( )

A.(5,6] C.(3,6]

B.(3,5) D.[5,6]

解析：选A 由正弦定理可得,(a－b)(a＋b)＝(c－b)c,即b2＋c2－a2＝bc,所以cos A＝b2＋c2－a21bcaπ＝,则A＝.又＝＝＝2,所以b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋2bc23sin Bsin Cπ

sin3

?1－cos 2B1－cos[2?A＋B?]?π

?＝3sin 2B－cos 2B＋4＝2sin?2B－?＋4.又sin2(A＋B)]＝4?＋6??22??

ππ?ππ5π

，,所以2B－∈?，?.所以b2＋c2的取值范围是(5,6]. △ABC是锐角三角形,所以B∈??62?6?66?6.如图,△ABC是边长为23的正三角形,P是以C为圆心,半径为1的―→―→

圆上任意一点,则AP·BP的取值范围是( )

A.[1,13] C.(4,10)

B.(1,13) D.[4,10]

―→―→―→

解析：选A 取AB的中点D,连接CD,CP,则CA＋CB＝2CD,所以―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→AP·BP＝(CP－CA)·(CP－CB)＝CA·CB－2CD·CP＋1＝π―→―→―→―→

(23)2cos－2×3×1×cos〈CD,CP〉＋1＝7－6cos〈CD,CP〉,所以当

3

―→―→―→―→―→―→―→―→cos〈CD,CP〉＝1时,AP·BP取得最小值为1；当cos〈CD,CP〉＝－1时,AP·BP取得

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―→―→

最大值为13,因此AP·BP的取值范围是[1,13].

7.已知Rt△ABC中,AB＝3,BC＝4,AC＝5,I是△ABC的内心,P是△IBC内部(不含边界)―→―→―→

的动点,若AP＝λAB＋μAC (λ,μ∈R),则λ＋μ的取值范围是( )

2?A.??3，1? 7

，1? C.??12?

2

，2? B.??3?D.(2,3)

解析：选A 以B为原点,BA,BC所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则B(0,0),A(3,0),C(0,4).设△ABC的内切圆的半径为r,因为I是△ABC的内心,所以(5＋3＋4)×r＝4×3,解得r＝1,所以I(1,1).设P(x,y),因为点P―→―→―→

在△IBC内部(不含边界),所以0＜x＜1.因为AB＝(－3,0),AC＝(－3,4),AP＝(x

?x－3＝－3λ－3μ，?―→―→―→

－3,y),且AP＝λAB＋μAC,所以?得

?y＝4μ，?

?

?1?μ＝4y，

11λ＝1－x－y，

34

所以λ＋μ＝1

2?1

－x,又0＜x＜1,所以λ＋μ∈??3，1?,故选A. 3

―→―→―→

8.(2019·唐山模拟)在△ABC中,(AB－3AC)⊥CB,则角A的最大值为________. ―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→解析：因为(AB－3AC)⊥CB,所以(AB－3AC)·CB＝0,即(AB－3AC)·(AB－AC)―→―→―→―→

|AB|2＋3|AC|2|AB|3|AC|―→2―→―→―→2

＝0,整理得AB－4AC·AB＋3AC＝0,即cos A＝―→―→＝―→＋―→≥2

4|AC |·|AB|4|AC|4|AB|33π―→―→

＝,当且仅当|AB|＝3|AC|时等号成立.因为0＜A＜π,所以0＜A≤,即角A的最大1626π值为. 6

π

答案： 6

9.(2018·沈阳质监)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,且满足4S＝a2－(b－c)2,b＋c＝8,则S的最大值为__________.

1解析：由题意得,4×bcsin A＝a2－b2－c2＋2bc,又a2＝b2＋c2－2bccos A,代入上式

2πππA＋?＝1.∵0＜A＜π,∴＜A＋得,2bcsin A＝－2bccos A＋2bc,即sin A＋cos A＝1,2sin??4?445ππ3ππ11

＜,∴A＋＝,∴A＝,S＝bcsin A＝bc.又b＋c＝8≥2bc,当且仅当b＝c时取“＝”,444222

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∴bc≤16,∴S的最大值为8.

答案：8

―→

1―→4AB

10.在△ABC中,AB⊥AC,AB＝t,AC＝t,P是△ABC所在平面内一点,若AP＝―→＋

|AB|―→AC

,则△PBC面积的最小值为________. ―→|AC|

解析：由于AB⊥AC,故以AB,AC所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,则1AC→4AB2?,C(0,t),因为―，0B?AP＝＋,所以点P坐标为(4,1),直线BC的方程为tx＋y－t＝?t?―→―→

|AB|

|AC|

0,所以点P到直线BC的距离为d＝

|4t2＋1－t|

t4＋11

,BC＝,所以△PBC的面积为t2t4＋1

―→

―→

|4t2＋1－t|t4＋11?1?31

4t＋－1≥,当且仅当t＝时取等号. ××＝4t?2t2?2t＋1

3

故△PBC面积的最小值为. 23

答案：

2

11.如图,在Rt△ABC中,AB＝AC,BC＝4,O为BC的中点,以O为圆心,1―→―→

为半径的半圆与BC交于点D,P为半圆上任意一点,则BP·AD的最小值为________.

解析：建立如图所示的平面直角坐标系,则B(－2,0),A(0,2),D(1,0),―→―→―→―→设P(x,y),故BP＝(x＋2,y),AD＝(1,－2),所以BP·AD＝x－2y＋2.令x－2y＋2＝t,根据直线的几何意义可知,当直线x－2y＋2＝t与半圆相切时,t取得最小值,由点到直线的距离公式可得―→―→BP·AD的最小值是2－5.

答案：2－5

12.(2019·长沙长郡中学月考)已知F是抛物线y2＝4x的焦点,点A,B在该抛物线上且位―→―→于x轴的两侧,OA·OB＝－4(其中O为坐标原点),则△ABO面积的最小值是________.

|2－t|

＝1,t＝2－5,即5