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但是，二元函数f(x,y)在点P0（x0，y0）存在关于x和y的两个偏导数，f(x,y) 在点P0（x0，y0）去不一定连续，这是因为f(x,y)在点P0（x0，y0）存在于关于x的偏导数fx'(x0,y0)，只能得到一元函数z?f(x,y0)（即图10.6中曲线C1）在x0连续.同样，由fy'(x0,y0)存在，只能得到一元函数z?f(x0,y)（即图10.6中曲线C2）在y0连续.由此可见，两个偏导数fx'(x0,y0)与fy'(x0,y0)只是过点P0（x0，y0）平行x轴与平行y轴的两个特殊路线的变化率.而二元函数 f(x,y) 在点 P0（x0，y0） 连续是与他在点P0（x0，y0）的邻域有关的概念，即不仅与过点P0的平行x轴与平行y轴的线段上点的函数值变化有关，而且也与点P0的邻域内其他点上的函数值的变化有关,例如，函数
?x2?y2f(x,y)???1,f(0,0)?lim'x?x?0
xy?0,xy?0.
2(?x)f(0??x,o)?f(0,0)?lim?x?x ?x?0?lim?x?0.
?x?0同样fy'(0,0)?0.于是，函数f(x,y)在点（0，0）存在两个偏导数.但是，沿着直线y=0有
limf(x,0)?limx2?0，
x?0x?0沿着直线y?x(x?0)，有
limf(x,x)?lim1?1，
x?0x?0即函数f(x,y)在点（0，0）不存在极限.当然，函数f(x,y)在点（0，0）不连续.
二、全微分
我们已知，一元函数y?f(x)在x0可微，有
dy?f'(x0)?x， 且?y?dy?o(?x)，
即微分dy是?x的线性函数，并且dy与?y之差比?x是高阶无穷小.一元函数微分dy推广到多元函数就是全微分.
定义 若二院函数z?f(x,y)在P0（x0，y0）的全改变量
?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)
可表为
?z?A?x?B?y?o(?)，
其中??
（1）
(?x)?(?y)22，A与B是与?x和?y无关的常数，则
称二元函数f(x,y)在P0（x0，y0）可微，（1）式的线性主要部分A?x?B?y称为二元函数f(x,y)在P0（x0，y0）的全微分，记为dz，即
dz?A?x?B?y.
由全微分的定义不难看到全微分的两个性质：dz是?x与?y的线性函数；dz与?z之差比?是高阶无穷小.
显然，若函数f(x,y)在P0（x0，y0）可微，则函数f(x,y)在p0(x0,y0)连续. 如果二元函数f(x,y)在p0(x0,y0)可微，全微分（2）中的常数A,B与二元函数f(x,y)有什么关系呢？有下面可微的必要条件:
定理1 （可微的必要条件） 若二元函数z?f(x,y)在p0(x0,y0)可微，则二元函数z?f(x,y)在p0(x0,y0)存在两个偏导数，且全微分（2)中的A与B分别是
A?fx'(x0,y0)
证明
已知二元函数z?f(x,y)在p0(x0,y0)可微，即
dz?A?x?B?y?o(?)， ??当?y?0是，有
(?x)2?(?y)
2f(x0??x)?f(x0,y0)?A?x?o(?x).
用?x除上式等号两端，在取极限(?x?0)，有
fx'(x0,y0)?lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)
?x =A?lim同法可证
o(?x)?A.
?x?0?xdz?fx'(x0,y0)dx?fy'(x0,y0)dy
与一元函数相同，规定自变量的改变量等于自变量的微分，即?x?dz,?y?dy.于是，二元函数f(x,y)在点P(x0,y0)的全微分
或
??f?dz?????x?注
p??f?dx????y????dy.
p这里的dx,dy是自变量x，y无关的独立变量，可取任意值.
类似地，n元值函数u?f(x1,x2,?,xn)在点Q(x1,x2,?,xn)的全微分
du??f?f?fdx1?dx2???dxn. ?x1?x2?xn我们已知，一元函数的可微与可导是等价的.由定理1，二元函数可微一定存在两个偏导
数；反之，二元函数存在两个偏导数去不一定可微.例如，函数
f(x,y)?|xy|
在原点（0，0）存在两个偏导数，有偏导数定义，有
fx'(0,0)?lim
?x?0f(?x,0)?f(0,0)0?lim?0 ?x?0?x?xf(0,?y)?f(0,0)0?lim?0. ?y?0?y?y fy(0,0)?lim'?y?0两个偏导数都存在，但是，他在原点（0，0）不可微.
事实上，假设他在原点（0，0）可微，有
df?fx'(0,0)?x?fy'(0,0)?y?0
?f?f(0??x,0??y)?f(0,0)?|?x??y.
??(?x)2?(?y)
2特地，取，?x??y，有
?f?|?x??y.?|?x|2?|?x|，
2??于是，
(?x)?f?df2?(?y)?|?x|2|?x|22(?x)?12?2|?x|.
lim
??0??lim?x?0?0.
即?f?df比?不是高阶无穷小(??0)，与可微定义矛盾，于是，函数
f(x,y)?|xy|在原点（0，0）不可微.
二元函数z?f(x,y)在p0(x0,y0)的全微分
dz?fx'(x0,y0)?x?fy'(x0,y0)?y
'涉及函数f(x,y)在点p0(x0,y0)邻域内所有的函数值，而偏导数fx(x0,y0)与fy'(x0,y0)仅涉及二元函数f(x,y)在过点p0(x0,y0)的直线x?x0与y?y0上的函数值.因此，仅仅
'两个偏导数fx(x0,y0)与fy'(x0,y0)存在并不能保证函数f(x,y)在点p0(x0,y0)可微，那
么在什么条件下可保证结案数在点p0(x0,y0)可微呢？有下面可微的充分条件.首先证明一个引理.
引理
若二元函数f(x,y)在点p0(x0,y0)的邻域G存在两个偏导数，则
?(x0??x,y0??y)?G，全改变量
?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)
?fx'(x0??1?x,y0??y)?x?fy'(x0,y0??2?y)?y，
其中0??1?1，0??2?1.
证明
显然，若点(x0??x,y0??y)?G，则点(x0,y0??y)与(x0??x,y0)?G，
并且连接两点(x0??x,y0??y)?G与(x0,y0??y)或(x0??x,y0??y)与
(x0??x,y0)的线段也属于G，如图10.7.为此，将全变量?z改写如下形式:
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