2018年高考数学一轮复习专题46两条直线的位置关系教学案理!

1

方法二 当AB∥l时，有k＝kAB＝－，

31

直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，

3即x＋3y－5＝0.

当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)． ∴直线l的方程为x＝－1.

故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1. 【感悟提升】(1)求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．

(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离

d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．

【变式探究】(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．

解 与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0. 设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，

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即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)21－2－λ＝0. 1

解得λ＝－.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.

3

(2)正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．

解 点C到直线x＋3y－5＝0的距离

d＝

|－1－5|310

＝.

51＋9

设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)， 则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离

d＝

|－1＋m|310＝，

51＋9

解得m＝－5(舍去)或m＝7，

所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0. 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0， 则点C到直线3x－y＋n＝0的距离

d＝

|－3＋n|310＝，

51＋9

解得n＝－3或n＝9，

所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0. 【举一反三】 (1)曲线y＝2x－x在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3，2)到直线l的距离为( ) A.

7292

B. 22

112

C.

2

D.910

10

3

(2)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( ) 82

A.2 B.

3

83

C.3 D.

3

3

解析 (1)曲线y＝2x－x上横坐标为－1的点的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1).切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－33(－1)＝－1，故切线l的方程为y－(－1)＝－13[x－(－1)]，|3＋2＋2|72整理得x＋y＋2＝0.由点到直线的距离公式，得点P(3，2)到直线l的距离为＝. 22

21＋1

2

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??2a≠18，1a6

(2)因为l∥l，所以＝≠，所以?2

1

2

a（a－2）＝3，

解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，

a－232a??a≠2，

a≠0，

??l?6－23???82

2：x－y＋2

3

＝0，所以l1与l2之间的距离d＝

2＝3

，故选B.

答案 (1)A (2)B 高频考点三 对称问题

例3、已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程.

?y＋22

(1)设A′(x，y)，再由已知??x＋123＝－1，

解??23x－1y－2

2－332＋1＝0，

?x＝－33

解得??13，∴A′??334??y＝4

?－13，13??.

13

，?(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上. 设对称点为M′(a，b)，

?则?23??a＋2?－33?b＋0??2????2???＋1＝0，解得M′??6，30???b－02

?1313??.

a－233＝－1，

设m与l的交点为N，则由???2x－3y＋1＝0，??

3x－2y－6＝0，得N(4，3).

又∵m′经过点N(4，3)，

∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.

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【方法规律】(1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段

MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直.

(2)如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.

(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；②若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.

【变式探究】 光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.

??x－2y＋5＝0，

解 法一 由?

?3x－2y＋7＝0，?

??x＝－1，

得?∴反射点M的坐标为(－1，2). ?y＝2.?

又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)， 2y0由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝. 3x0＋5而PP′的中点Q的坐标为?∴32

?x0－5，y0?，又Q点在l上，

?2??2

x0－5

－22＋7＝0.

22

0

y0

y217＝－，x＝－，???x＋53?13

由?得?

332??2（x－5）－y＋7＝0.??y＝－13.

00

0

0

0

根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.

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