结构动力学基础(new)2

1.5 傅立叶变换和频域反应

一般说来，可以把任一周期函数F(t)展开成傅立叶级数形式：

F(t)?a0???ancosn?t?bnsinn?t? （1-5.1）

n?1?对于给定函数F(t)的系数a0﹑an和bn可由下式确定：

1a0?T?t1?Tt1F(t)dt

2t1?Tan??F(t)cosn?tdt

Tt12t1?Tbn??F(t)sinn?tdt （1-5.2）

Tt1一﹑用傅立叶级数表示的荷载作用下的反应

无阻尼单自由度体系用傅立叶级数表示的周期力的总反应，由该级数各项反应的叠加组成，包括恒力a0的反应

a0（稳态反应），即： ka0?1?anbn?y(t)???cosn?t?sinn?t? （1-5.3） 2?kn?11?rn?kk?式中：rn?n?2?k ，??，??T?m有阻尼单自由度体系用傅立叶级数表示的周期力的总反应，也由该级数各项反应的叠加组成，可表示为：

a01??an2rn??bn(1?rn2)y(t)????sinn?t 222kkn?1?(1?rn)?(2rn?)?an(1?rn2)?bn2rn??cosn?t? （1-5.4） 222(1?rn)?(2rn?)?c式中：??ccr

为阻尼比

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二﹑分段线性函数的傅立叶系数

如前面杜哈梅积分所述，可以用图1.4－2所示的分段线性函数来表示外力函数，这样就可以把傅立叶系数的计算式（1-5.2）用外力函数的各分段积分和来表示：

1Ntia0???F(t)dt

Ti?1ti?12Ntian???F(t)cosn?tdt

Ti?1ti?12Ntibn???F(t)sinn?tdt （1-5.5）

Ti?1ti?1

式中N是外力函数的分段数，任意时间间隔ti-1≤t≤ti的外力函数可由式（1-4.11） 表示。将式（1-4.11） 代入式（1-5.5），积分得到分段线性函数的傅立叶系数为：

1Na0????ti(Fi?Fi?1)/2?

Ti?1?Fi?2N?1?an????F(ti?1)?ti?1?(sinn?ti?sinn?ti?1)

Ti?1?n???ti??Fi?22?(cosn?ti?cosn?ti?1)?n?(tisinn?ti?ti?1sinn?ti?1)?? n??ti2N?1??Fi?bn????F(ti?1)?ti?1?(cosn?ti?1?cosn?ti)

Ti?1?n???ti??Fi?22?(sinn?ti?sinn?ti?1)?n?(ticosn?ti?ti?1cosn?ti?1)?? （1-5.6） n??ti三﹑离散傅立叶变换

将傅立叶系数拓展到非周期函数所得到的积分称为傅立叶变换。级数?F(tj)?，（j=0,1,2…N-1）的傅立叶变换常常通过欧拉公式用指数形式来表示：

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F(t)?n???in?tce?n? （1-5.7）

1N?1?2?i(nj/N).N?1)? （1-5.8） ?n?0,1,2..(F(tj)e式中：cn??Nj?0它的离散傅立叶逆变换为：

F(tj)??cnen?0N?12?i(nj/N).N?1)? （1-5.9） ?j?0,1,2..(用有限和的形式，给出了任意离散函数，就可以得到受荷载函数的简谐分量激励的简单振子的反应。在有阻尼简谐激励的运动微分方程中，引入单位指数外力函数En便得到：

?ei?nt

my???cy??ky?ei?nt （1-5.10）

其稳态解为：

y(t)?H(?n)ei?nt （1-5.11）

把式（1-5.11）代入式（1-5.10），便得到函数H(ωn)，称为复频反应函数，其表达式为：

1H(?n)? （1-5.12） 2k(1?rn?2irn?)?式中：rn?n?为频率比，??cc?为阻尼比。 ccr2km 因此，由式（1-5.9）给定的具有幅值Cn的简谐分量在tj?j?t时的反应yn(tj)可表示为：

jCne （1-5.13） yn(tj)?2k(1?rn?2irn?)2?i(n/N)于是，由N个简谐分量得到的总反应为：

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cne （1-5.14） y(tj)??2n?0k(1?rn?2irn?)1.6 反应谱

反应谱是单自由度体系在特定荷载作用下的最大反应曲线（最大位移﹑最大速度和最大加速度等）。反应谱的横坐标是体系的自振频率（或周期），纵坐标是最大反应。考虑图1.6－1所示无阻尼振子受半周期正弦荷载的激励作用，假设体系初始处于静止状态，正弦波的持续时间为td，其运动微分方程为：

N?12?i(nj/N)my???ky?F(t) （1-6.1）

F0si?nt?其中： F(t)?0

(0?t?td)(t?td)

???td

图1.6－1 荷载F(t)作用下的无阻尼简单振子

该运动微分方程的解可以用直接积分法求得，它分为两部份：

?y1tTt??sin??sin2???yst1?(T)2?td2tdT?

2td(0?t?td)

yT/tdtdttd?cos?sin2?(?) (2yst(T/2td)?1TT2Tt?td) （1-6.2）

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