人教版2020年高中数学第三章3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式优化练习新人教A版必修4

2．已知α∈R，sin α＋2cos α＝4A. 33C．－

4

10

，则tan 2α＝( ) 2

3B. 44D．－ 3

解析：先利用条件求出tan α，再利用倍角公式求tan 2α.把条件中的式子两边平方，得53222

sinα＋4sin αcos α＋4cos α＝，即3cosα＋4sin αcos α＝，

22

3cosα＋4sin αcos α33＋4tan α32

所以＝，所以＝，即3tanα－8tan α－3＝0， 222cosα＋sinα21＋tanα212tan α3

解得tan α＝3或tan α＝－，所以tan 2α＝＝－. 2

31－tanα4答案：C

1??2

3．已知方程x－?tan α＋x＋1＝0的一个根是2＋3，则sin 2α＝________.

tan α???解析：由题意可知 (2＋3)－?

22

?sin α＋cos α?(2＋3)＋1＝0， ??cos αsin α?

2

2

sinα＋cosα即8＋43－(2＋3)＝0，

sin αcos α所以(2＋3)

＝4(2＋3)，

1

sin 2α2

1

1

所以sin 2α＝. 21答案：

24．设cos 2θ＝244

，则cosθ＋sinθ的值是________． 3

1144222222

解析：cosθ＋sinθ＝(cosθ＋sinθ)－2cosθsinθ＝1－sin2θ＝1－(1－

22cos2θ)

1111?2?2112

＝＋cos2θ＝＋×??＝. 2222?3?1811答案：

18

5．已知向量p＝(cos α－5，－sin α)，q＝(sin α－5，cos α)，p∥q，且α∈(0，π)． (1)求tan 2α的值；

5

2

(2)求2sin?

2

?α＋π?－sin ?α＋π?.

???6??26??

解析：(1)由p∥q，

可得(cos α－5)cos α－(sin α－5)(－sin α)＝0， 1

整理得sin α＋cos α＝.

5因为α∈(0，π)，所以α∈?所以sin α－cos α ＝2－

sin α＋cos α2

?π，π?，

?

?2?

7＝， 5

434

解得sin α＝，cos α＝－，故tan α＝－，

5532tan α24

所以tan 2α＝＝. 2

1－tanα7π?π??2?α(2)2sin?＋?－sin ?α＋?

6??26??π?π???＝1－cos ?α＋?－sin ?α＋?

3?6???

13318

＝1－cos α＋sin α－sin α－cos α＝1－cos α＝. 22225

6．已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,23cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，

?1?且ω∈?，1?. ?2?

(1)求函数f(x)的最小正周期．

?π??3π?(2)若y＝f(x)的图象经过点?，0?，求函数f(x)在区间?0，?上的取值范围．

5??4??

解析：(1)f(x)＝a·b＋λ＝sinωx－cosωx＋23sin ωxcos ωx＋λ＝3sin 2ωx－π??cos 2ωx＋λ＝2sin ?2ωx－?＋λ，

6??且直线x＝π是f(x)的图象的一条对称轴， ππ

所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，

62

2

2

k1

所以ω＝＋.

23

5?1?又因为ω∈?，1?，所以ω＝， 6?2?

6

所以f(x)的最小正周期为6π

5. (2)y＝f(x)的图象经过点?

?π?4，0???

，

所以f??π?4???

＝0，

即λ＝－2sin ???2×56×ππ4－6??π?

＝－2sin 4＝－2， 则f(x)＝2sin ??5π?3x－6???－2，又x∈??3π?

0，5???，

则5π?π5π??3π3x－6∈??－6，6??，所以函数f(x)在区间??0，?5??上的取值范围为[－1－2，2－2].

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