江苏省马坝高级中学2019年10月高2020届高2017级高三第一学期期中考试理科数学试题及参考答案

将λ1=1代入二元一次方程组

所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为同理,矩阵M属于特征值2的一个特征向量为22.解

解得x=0, ；

………10分

23.解:因为直线l的极坐标方程为???3?x?2cos?又因为曲线C的参数方程为?(?为参数）,

y?1?cos2??1所以曲线C的直角坐标方程为y?x2?x???2,2??,

2?x?0??x?23联立解方程组得?或?.

y?0???y?6???R?,所以直线l的普通方程为y?3x,

??x?23x根据的范围应舍去?,故P点的直角坐标为(0,0) ………10分

y?6??

24.解:(1）在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱PD⊥底面ABCD, 所以DA,DC,DP两两垂直,

uuuruuuruuur故以DA,DC,DP为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz.

??因为PD?DC,

所以DA?DC?DP.

不妨设DA?DC?DP?2,

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则D(0,0,0）,A(2,0,0）,C(0,2,0）,P(0,0,2）,B(2,2,0）. 因为E是PC的中点, 所以E(0,1,1）,

uuuruuur故AP＝(－2,0,2）,BE＝(－2,－1,1）

uuuruuuruuuruuurAP?BE3所以cos?AP,BE?＝uuu, ruuur＝

2AP?BE从而?AP,BE?＝

uuuruuurπ. 6π.………………………………………………4分 6uuuruuuruuur(2）由(1）可知DE＝(0,1,1）,DB＝(2,2,0）,PB＝(2,2,－2）.

因此异面直线AP与BE所成角的大小为

uuuruuuruuur设PF＝?PB,则PF＝(2λ,2λ,－2λ）,

uuuruuuruuur从而DF＝DP＋PF＝(2λ,2λ,2－2λ）.

设m＝(x1,y1,z1）为平面DEF的一个法向量,

uuur??m?DF?0?2?x1?2?y2?(2?2?)z1?0则?,即?. uuur??m?DE?0?y1?z1?0取z1＝λ,则y1＝－λ,x1＝2λ－1,

所以m＝(2λ－1,－λ,λ）为平面DEF的一个法向量.…………………………………6分 设n＝(x2,y2,z2）为平面DEB的一个法向量,

uuur??n?DB?0?2x2?2y2?0则?uuu,即?. r??n?DE?0?y2?z2?0取x2＝1,则y2＝－1,z2＝1,

所以n＝(1,－1,1）为平面DEB的一个法向量.………………………………………8分 因为二面角F?DE?B的平面角的正弦值为3, 36, 3所以二面角F?DE?B的平面角的余弦值为即cos?m,n??m?nm?n?4??13?(2??1)2?2?2?6, 32化简得4??1.因为点F在线段PB上,所以0≤λ≤1,

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故λ＝

1PF1,即＝.……………………………………………………………………10分 2PB2 - 11 -