12[数学]选修4-5学案 §3.2.1排序不等式(1)

知识改变命运，学习成就未来

选修4-5学案 §3.2.1

题;

排序不等式 姓名

☆学习目标： 1. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问

?知识情景：

2. 体会运用经典不等式的一般思想方法 1. 一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，ai,bi?R(i?1,2,…,n)，

则： .

当且仅当 时, 等号成立.

(若ai?0时，约定bi?0，i?1,2,…,n).

n 变式10. 设ai?R,bi?0(i?1,2,?,n), 则：?i?1ai2bi?(?ai)2?b2 .

i 当且仅当 时, 等号成立.

变式2. 设ai?bi?0(i?1,2,?,n), 则：?i?10

naibi?(?ai)?abi.

i 当且仅当b1?b2???bn时,等号成立. 变式

B1,B2,j30.

B,1(积分形式)

设f(x)与g(x)都在[a,b]可积，

A2B,nB,A2,iA, nA,A,b 则??f(x)g(x)dx?????a??ba2f(x)dx??g(x)dx，

a2b 当且仅当f(x)?t?g(x)时,等号成立. 2. 探究 如图， 设?AOB??，自点O沿OA边依次取n个点A1,A2,?,An，

OB边依次取取n个点B1,B2,?,Bn，在OA边取某个点Ai与OB边

某个点Bj连接，得到?AiOBj，这样一一搭配，一共可得到 n个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的?AiOBj 不同，问：OA边上的点与OB边上的点 如何搭配，才能使n个三角形的

面积和最大（或最小）？？？

设OAi?ai,OBj?bj(i,j?1,2,?,n)，由已知条件，得

b?2b?3??bn a1?a2?a3???an,b?1 因为?AOBij的面积是 ，而 是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为

设c1,c2,?c,n是数组b1b,?,bn的,任何一个排列 则,S?a1c1?a2c2???ancn 代数问题：2 何时取最大（或最小）值？

我们把S?a1c1?a2c2???ancn叫做数组(a1,a2,?,an)与(b1,b2,?,bn)的乱序和.

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其中,

何?

S1?a1bn?a2bn?1?a3bn?2???anb1称为 序和.

S2?ab?ab2?2ab???anbn称为 序和.这样的三个和大小关系如1133 ☆ 新知建构：

1.检验操作: 填表: 2.一般性证明:

设a1?a2???an,b1?b2???bn

c1,c2,?,cn是b1,b2,?,bn的任意一个排

列(有 个不同的排列). 所以, S?a1c1?a2c2???ancn的不同值也只 有有限个(?个).其中必有最大值

和最小值.

考察S?a1c1?a2c2???ancn,

ckc(?k1,)且1 10.若c1?b1,则应有某ck?1b,对换c1,ck得

S??a1ck???akc1???ancn

? S?S??S?S .

?????0.

说明将S?a1c1?a2c2???ancn中第一项换为a1b1后, 和式变 .

20.若c1?b1,则转而考察c2,并进行类似讨论.可证将式中第二项换为a2b2后,和式变 . 如此继续下去, 经有限步调整, 可知一切和数中, 最大和数只能是 .

且不难知道, 最小和数只能是 . 因此

反序和乱序和顺序和 即 S1 S1SSS2.

S2;

30.容易发现, 当a1?a2???an,或b1?b2???bn时,

如果a1,a2,?,an,不全相等, b1,b2,?,bn也不全相等. 则?i,j(1?i,j?n)和l,k(1?l,k?n) 使ai?aj,bl?bk,考察和数

b?ab? S?S2?(aiijj?ab?llla)b?(kka)?kb(ka?bik?a?bjl??a?b)li

labkjabkj S???S2?(ab?iia?bjja?lb?ialb?ab?jkaib ) ∵ S???S???(ai?aj)(bk?bl)??0?SS

∴ S1?S?S?S2.

定理(排序不等式, 又称排序原理):设a1?a2???an,b1?b2???bn为两组数,

c1,c2,?,cn是b1,b2,?,bn的任意一个排列, 则

a1b?ab?n2n?1ab?2??3?nna?ab1c1?ac2???ancn?a1b1?ab?ab3???anbn2223.

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当且仅当a1?a2???an,或b1?b2???bn时, 等号成立. ☆ 排序不等式的应用：

例1. 若a1，a2，…，an 为两两不等的正整数，

求证:1?12?13???1n?a1?a222?a332???ann2.

例2 5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别

是

4分钟,8分钟,6分钟,10分钟,5分钟. 那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们

等

待的总时间最少？

选修4-5练习 §3.2.1排序不等式 姓名

121、若0?a1?a2,0?b1?b2,且a1?a2?b1?b2?1，则下列代数式中值最大的是（ ）

A．a1b1?a2b2 B．a1a2?b1b2 C．a1b2?a2b1 D． 2、对a,b,c?R, 比较a

+

3

+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小

3、已知a,b?R?，求证：

ab?ba?a?b

4、正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1/,a2/,…an/， 则有

aaaa5、设a1，a2，a3，…，an为正数，求证：1?2???n?1?n?a1?a2???an.

a2a3ana12222a1a?1?a2a2????anan??n

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6、 设a,b,c?R?,试证:

a12bc?b12ca?c12ab?a10?b1010?c .

a?b?c7、设a,b,c?R, 用排序不等式求证: aabbcc?(abc)?3

8、在?ABC中,试证:

9、设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：

12?23???n?1n?a1a2?a2a3???an?1an?3?aA?bB?cCa?b?c??2

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a?b2c2210、设a,b,c?R,求证：a?b?c?

+

?b?c2a22?c?a2b22?a3bc?b3ca?c3ab

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