高中数学人教A版选修2-1 空间向量与立体几何

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空间向量与立体几何

河北新乐一中张增辉

一、选择题

1．(2013·南昌模拟)在空间中，已知AB＝(2,4,0)，BC＝(－1,3,0)，则∠

→

→

ABC的大小为( )

A．45° C．120°

→

B．90° D．135° →

【解析】 由BA＝(－2，－4,0)，BC＝(－1,3,0)得

→

→

→→

cos〈BA，BC〉＝

BA·BC|BA||BC|

→

→＝

2－122

＝－，

225×10

又0°≤〈BA，BC〉≤180°， ∴∠ABC＝135°. 【答案】 D

9

2．(2013·山东高考)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，

4底面积是边长为3的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所

→→

信达

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成角的大小为( )

A.C.5π

12π 4

B.D.π 3π 6

【解析】 画出三棱柱ABC—A1B1C1，作出PA与平面ABC所成的角，解三角形求角．

如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：

PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．

在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝3， 则S＝

333×(3)2＝， 44

9

4

VABC—A1B1C1＝S×PO＝，∴PO＝3. 又AO＝

3PO×3＝1，∴tan∠PAO＝＝3， 3AOπ

. 3

∴∠PAO＝

【答案】 B

3．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB＝

PD＝a.点E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F.则PB与平面EFD所成

信达

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角为( )

A．30° C．60°

B．45° D．90°

【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，D为坐标原点．则P(0,0，

aa??

a)，B(a，a,0)，PB＝(a，a，－a)，又DE＝?0，，?，

?

22?

→

→→

PB·DE＝0＋－＝0，

2

2

所以PB⊥DE.由已知DF⊥PB，又DF∩DE＝D，

所以PB⊥平面EFD，所以PB与平面EFD所成角为90°. 【答案】 D

4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )

1A. 2C.3 3

2B. 3D.2 2

→

a2a2

【解析】 以A为原点建立空间直角坐标系，如图．

信达

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设棱长为1，

1??

则A1(0,0,1)，E?1，0，?，D(0,1,0)，

2??所以A1D＝(0,1，－1)， 1??

A1E＝?1，0，－?，

2??

设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)， →

→

?y－z＝0，

则?1

?1－2z＝0，

?y＝2，所以?

?z＝2，

所以n1＝(1,2,2)．

设平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)， ?2?2

?＝. 所以|cos〈n1，n2〉|＝?

?3×1?3

2

即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.

3【答案】 B

5．P是二面角α—AB—β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α—AB—β的大小为

( )

信达