高考数学（理）二轮专练：仿真模拟题(1)及答案解析

ππ

将(，1)代入得1＝sin(＋φ)，

66πππ而－<φ<，所以φ＝，

223

π

因此函数f(x)＝sin(x＋)．

3π2πππ

(2)由于x∈[－π，－]，－≤x＋≤，

6336π1

所以－1≤sin(x＋)≤，

32

1

所以f(x)的取值范围是[－1，]．

2

2

2110×（40×30－20×20）17．【解】(1)K＝≈7.8>6.635，

60×50×60×50

而P(K2≥6.635)≈0.010＝1%，即，认为“爱好该项运动与性别没有关系”的概率是1%，∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．

66

(2)应抽取男生人数为×40＝4人，应抽取女生人数为×20＝2人．

6060

(3)设6人中2个女生分别为A，B，4个男生分别为c，d，e，f， 则从6人中随机选定2人去做某件事的基本事件为：

AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15个基本事件，其中，有女生被选中的事件为AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，共9个，

93

∴有女生被选中的概率为P＝＝. 155

18．【解】(1)设an＋1＋λan＝μ(an＋λan－1)(n≥2)， ∴an＋1＋(λ－μ)an－λμan－1＝0，

10??λ－μ＝－3

∴?，

??λμ＝－1

1

∴λ＝－或λ＝－3.

3

1－

(2)由(1)知当n≥2时，an－an－1＝3n1，①

3

1

an－3an－1＝n－1，②

331

由①②得an＝(3n－n)．

83

经验证，n＝1时也成立，

31∴an＝(3n－n)．

8319．【解】

(1)证明：取AB1的中点G，连接EG，FG， ∵F、G分别是AB、AB1的中点，

1

∴FG∥BB1，FG＝BB1.

2

∵E为侧棱CC1的中点， ∴FG∥EC，FG＝EC，

∴四边形FGEC是平形四边形， ∴CF∥EG，

∵CF?平面AB1E，EG?平面AB1E， ∴CF∥平面AB1E. (2)∵三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，

∴BB1⊥平面ABC.

又AC?平面ABC，∴AC⊥BB1. ∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.

∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面EB1C，∴AC⊥CB1，

1111

∴VA-EB1C＝S△EB1C·AC＝×(×1×1)×1＝.

3326

3

∵AE＝EB1＝2，AB1＝6，∴S△AB1E＝. 2

3VC－AB1E3

∵VC-AB1E＝VA-EB1C，∴三棱锥C-AB1E在底面AB1E上的高为＝. 3S△AB1E

2

20．【解】(1)抛物线y＝8x的焦点为椭圆E的顶点， 即a＝2. c1

又＝，故c＝1，b＝3. a2

x2y2

∴椭圆E的方程为＋＝1.

43

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

??y＝kx＋m联立?2， 2

?3x＋4y＝12?

得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. 由根与系数的关系，

－8km6m

得x1＋x2＝2，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝2. 4k＋34k＋3－8km6m

将P(2，2)代入椭圆E的方程，

4k＋34k＋364k2m236m2

得＋＝1. 4（4k2＋3）23（4k2＋3）2整理，得4m2＝4k2＋3.

设T(t，0)，Q(－4，m－4k)．

－8km6m→→

∴TQ＝(－4－t，m－4k)，OP＝(2，2)．

4k＋34k＋3

→→32km＋8kmt6m（m－4k）即OP·TQ＝＋

4k2＋34k2＋3

6m2＋8km＋8kmt＝. 4k2＋3

∵4k2＋3＝4m2，

2

→→6m＋8km＋8kmt32k（1＋t）∴OP·TQ＝＝＋.

4m22m

2k（1＋t）24k2（1＋t）2（4m2－3）（1＋t）2→→

要使OP·TQ为定值，只需[]＝＝为定值，则1

mm2m2＋t＝0，∴t＝－1，

3→→

∴在x轴上存在一点T(－1，0)，使得OP·TQ为定值. 2

2x

21．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝x－e，f(x)在R上单调递减． f′(x)＝2x－ex，只要证明f′(x)≤0恒成立即可， 设g(x)＝f′(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex， 当x＝ln 2时，g′(x)＝0，

当x∈(－∞，ln 2)时，g′(x)>0， 当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)<0.

∴f′(x)max＝g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－2<0， 故f′(x)<0恒成立，

∴f(x)在R上单调递减．

(2)①若f(x)有两个极值点x1，x2， 则x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根， 故方程2ax－ex＝0有两个根x1，x2，

ex

又x＝0显然不是该方程的根，∴方程2a＝有两个根．

x

ex（x－1）ex

设φ(x)＝，得φ′(x)＝，

xx2当x<0时，φ(x)<0且φ′(x)<0，φ(x)单调递减，

当x>0时，φ(x)>0，当01时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，

xe

要使方程2a＝有两个根，需2a>φ(1)＝e，

x

e

故a>且0

2

e

故a的取值范围为(，＋∞)．

2

②证明：由f′(x1)＝0，得2ax1－ex1＝0，

ex1故a＝，x1 ∈(0，1)，

2x1

ex12x1f(x1)＝ax2·x1－ex1＝ex1(－1)，x1∈(0，1)， 1－ex1＝2x12

t－1t

设φ(t)＝et(－1)(0

22

φ(t)在0

e

故φ(1)<φ(t)<φ(0)，即－

2