第21届全国中学生物理竞赛预赛试题（含答案） - 图文

式中M为地球质量，G为万有引力常量，m为卫星质量 另有

2g （2） GM?R0由图可知

Rcos? ＝R0 （3）

由以上各式可解得

?4?2R0???arccos?2??Tg?1/3 （4）

取T＝23小时56分4秒（或近似取T＝24小时），代入数值，可得

? ＝81.3? （5）

由此可知，卫星的定位范围在东经135.0?－81.3?＝53.7?到75.0?＋81.3?＝156.3?之间的上空。 评分标准：

本题15分．（1）、（2）、（3）式各2分，（4）、（5）式共2分，得出最后结论再给7分。 五、用E 和I分别表示abdc回路的感应电动势和感应电流的大小，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知

E ＝Bl（v2－v1） （1）

E （2） 2R令F表示磁场对每根杆的安培力的大小，则

F＝IBl （3）

令a1和a2分别表示ab杆cd杆和物体M加速度的大小，T表示绳中张力的大小，由牛顿定律可知

F＝ma1 （4） Mg－T＝ma2 （5） T－F＝ma2 （6）

由以上各式解得

I?B2l2(v2?v1) （7） a1?2Rm2MgR?B2l2(v2?v1)a2? （8）

2(M?m)R评分标准：

本题15分．（l）式3分，（2）式2分，（3）式3分，（4）、（5）、（6）式各1分，（7）、（8）式各2分。

六、把酒杯放平，分析成像问题。

图1

1．未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0＝1。在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成? 角的另一光线PA在A处折射。设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为? ，由折射定律和几何关系可得

n1sini＝n0sinr （1） ? ＝i+? （2）

在△PAC中，由正弦定理，有

RPC （3） ?sin?sini考虑近轴光线成像，?、i、r 都是小角度，则有

r?n1i （4） n0??Ri （5） PC由（2）、（4）、（5）式、n0、nl、R的数值及PC?PO?CO?4.8cm可得

? ＝1.31i （6）

r ＝1.56i （7） 由（6）、（7）式有

r＞? （8）

由上式及图1可知，折射线将与PO延长线相交于P?，P? 即为P点的实像．画面将成实像于P? 处。

在△CAP? 中，由正弦定理有

RCP?? （9） sin?sinr又有 r＝? +? (10) 考虑到是近轴光线，由（9）、（l0）式可得

CP??又有

rR (11) r??OP??CP??R （12）

由以上各式并代入数据，可得

OP??7.9 cm （13）

由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9 cm处。已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物。

2．斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图2所示，考虑到近轴光线有

图2

r?n1i （14） n2代入n1和n2的值，可得

r＝1.16i （15）

与（6）式比较，可知

r＜? （16）

由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于P?，P? 即为P点的虚像。画面将成虚像于P? 处。计算可得

CP??又有

rR （17） ??rOP??CP??R （18）

由以上各式并代入数据得

OP??13 cm （19）

由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P?处，距O点13cm．即距杯口21 cm。虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像。 评分标准：

本题15分．求得（13）式给5分，说明“看不出”再给2分；求出（l9）式，给5分，说明“看到”再给3分。

七、由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为vA，B沿水平方向运动，设其速度为vB，若以B为参考系，从B观测，则A杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为VA。杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示。由图得

VAsin??vA （1）

VAcos??vB （2）

因而

vB?vAcot? （3）

由能量守恒

1122 （4） mAgRcos??mAvA?mBvB22由（3）、（4）两式及mB＝2mA得

vA?sin?2gRcos? （5） 21?cos?vB?cos?2gRcos? （6）

1?cos2?评分标准：

本题（15）分．（1）、（2）式各3分，（4）式5分，（5）、（6）两式各2分。 八、设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC，则题图中通有电流的电路可以简化为图1中的电路。B、C右方的电路又可简化为图2的电路，其中RB?C?是虚线右方电路的等效电阻。由于B?、C?右方的电路与B、C右方的电路结构相同，而且都是无穷组合电路，故有

RBC?RB?C? （1）

由电阻串、并联公式可得

RBC?1?2RB?C? （2）

2?RB?C?由式（1）、（2）两式得

2RBC?RBC?2?0

解得

RBC＝2.0 ? （3） 图1所示回路中的电流为

图1

图2

20?10?24A=0.10A （4）

10?30?18?2电流沿顺时针方向。

设电路中三个电容器的电容分别为C1、C2和C3，各电容器极板上的电荷分别为Q1、Q2和Q3，极性如图3所示。由于电荷守恒，在虚线框内，三个极板上电荷的代数和应为零，即

Q1＋Q2－Q3＝0 （5） A、E两点间的电势差

I?UA?UE??又有

图3

Q1Q3 （6） ?C1C3UA?UE?(10?30?0.10)V=7.0V （7）

B、E两点间的电势差

UB?UE?又有

Q2Q3? （8） C2C3UB?UE?(24?20?0.10)V=26V （9）

根据（5）、（6）、（7）、（8）、（9）式并代入C1、C2和C3之值后可得