《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解

证明：

设开始时，盘径为r0，则经过时间t之后，胶卷盘面积变化为：

?r02??r2???vt，两边对t求导得：

?2?r?dr??v dtdr?v?? dt2?r又因为v??r，两边对t求导得： 0?d?drr?? dtdtv?v?(?) r2?r 0???r??v2 ?? 32?r本题得证。

[习题6-14] 刚体以匀角速度??2rad/s作定轴转动。沿转动轴的单位矢

?t?0.5i?0.3316j?0.8k，体内一点Ｍ在某瞬时的位置矢r?500i?800j?200k

???????解：

???t?2(0.5i?0.3316j?0.8k) ??i?0.6632j?1.6k

??????????iv???r?1??jk0.66321.6?11.6?10.6632?0.66321.6?i?j?k

800200500200500800500800200???????v??1147.36i?600j?468.4k(mm/s)

d??0 dt???????a???r???v

9

?a???v

??????a???v?i1j0.6632600???1147.36??k0.66321.6?11.6?10.6632?

1.6?i?j?k600468.4?1147.36468.4?1147.36600468.4??a??649.36i?2304.176j?1360.93k

[习题6-15] 刚体绕固定轴按规定ω＝２πｔrad/s转动，Ｏξ轴与ｘ，ｙ，ｚ轴的夹角分别为６０°，６０°，４５°。在ｔ＝２ｓ时，刚体上Ｍ点的坐标为（１００ｍｍ，１００ｍｍ，２００ｍｍ）。求该瞬时Ｍ点的速度和加速度。 解： （１）求速度

?r?100i?100j?200k

???沿转动轴的单位矢

?t?cos60i?cos60j?cos45k t?0.5i?0.5j?0.7071k

???????0?0?0?????t?2?t(0.5i?0.5j?0.7071k) ???ti??tj?2?tk

??????|t?2?2?i?2?j?22?k

???d?????i??j?2?k

dt???????iv???r?2???k???11121222???2?i??2?j??2?k

100100100200100200100100200???j2????v?367.8824i?367.8824j(mm/s) v?368i?368j(mm/s)

??? 10

（２）求加速度

t?2s时，

???i??j?2?k

?????r?100i?100j?200k

????????2?i?2?j?22?k

??v?368i?368j

???????a???r???v

????k1?12?12?1at???r???2???i??j??k

100100100200100200100100200at?183.9412i?183.9412j(mm/s2)

???i?j?ian???v?2????k122??3683683680???j2????21?2?i?0368?11?2?2?j??2?k

3683680an??3268.273i?3268.273j(mm/s2)

??a?(183.9412?3268.273)i?(?183.9412?3268.273)j(mm/s2) a??3084.332i?3084.332j(mm/s2)

????????a??3084i?3084j(mm/s2)

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