《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解

?1?0.4?t?C1

?1|t?0?0.4??0?C1?0

C1?0

?1?0.4?t

?1?0.4?t?n1?0.4t?n1 302?n1?? 6030n1?12t

传速比：

n1r2? n2r112t300? 300750t?10(s)

[习题6-9] 两轮Ⅰ，Ⅱ，半径分别为ｒ１＝１００ｍｍ，ｒ２＝１５０ｍｍ，平板ＡＢ放置在两轮上，如图所示。已知轮Ⅰ在某瞬时的角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ，角加速度α＝０.５ｒａｄ／ｓ，求此时平板移动的速度和加速度以及轮Ⅱ边缘上一点Ｃ的速度和加速度（设两轮与板接触处均无滑动）。 解：

平板作平动，其速度、加速度与轮Ｉ的轮缘切向速度与切向加速度分别相同。

２

vAB?r1?1?100?2?200(mm/s)

aAB?r1?1?100?0.5?50(mm/s2)

?2r11002??? ?1r21503?2??1?2324?2?(rad/s) 334?200(mm/s)?vAB 3vC?r2?2?150?at?aAB?50(mm/s2)

5

v22002an???266.67(mm/s2)

r21502a?at2?an?502?266.672?271.3(mm/s2)?271(mm/s2)

[习题6-10] 电动绞车由带轮Ⅰ和Ⅱ及鼓轮Ⅲ组成，鼓轮Ⅲ和带轮Ⅱ刚连在同一轴上。各轮半径分别为ｒ１＝３００ｍｍ，ｒ２＝７５０ｍｍ，ｒ３＝４００ｍｍ。轮Ⅰ的转速为ｎ＝１００ｒ／ｍｉｎ。设带轮与带之间无滑动，试求物块Ｍ上升的速度和带ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ各段上点的加速度的大小。 解： 传速比：

?1?n1?2?3.14?100??10.47(rad/s) 6030n2r13002????0.4 n1r27505n2?0.4n1?0.4?100?40(r/min)

?2?n2?2?3.14?40??4.187(rad/s) 6030vM?r3?2?400?4.187?1675(mm/s)

aAB?aCD?0 （皮带作匀速度运动）

BC带：

atBC?anBCd?2dv?r2?0 dtdt2vBC2??r2?2?0.75?4.1872?13.148?13.2(m/s2) r2aBC?anBC?13.2(m/s2)

ＤＡ带：

atDA?anDAd?dv?r11?0 dtdt2vDA??r1?12?0.3?10.472?32.887?32.9(m/s2) r2aDA?anDA?32.9(m/s2)

6

[习题6-11] 摩擦传动的主动轮Ⅰ作６００ｒ／ｍｉｎ的转动，其与轮Ⅱ的接触点按箭头所示的方向移动，距离ｄ按规律ｄ＝（１００－５ｔ）ｍｍ变化（ｔ以ｓ计）。求：（１）以距离ｄ的函数表示Ⅱ的角加速度；（２）当ｄ＝ｒ时，轮Ⅱ边缘上一点的全加速度。已知摩擦轮的半径ｒ＝５０ｍｍ，Ｒ＝１５０ｍｍ。 解：

（１）以距离ｄ的函数表示Ⅱ的角加速度 主动轮轮缘速度：

vI?r?I?50?600?2??1000?(mm/s) 60vII?d?II?(100?5t)?II?1000?(mm/s)

?II?1000?

100?5t?II??1000???II??55000?2?(rad/s) 22(100?5t)(100?5t)5000?2(rad/s) 2d（２）当ｄ＝ｒ时，轮Ⅱ边缘上一点的全加速度

d?100?5t?50，即t?10s时的切向加速度为：

?II|t?10?5000?2?2?(rad/s) 2(100?5?10)atII|t?10?R?II?150?2??300?(mm/s2)

anII2vII(R?II)21000?21000?2|t?10???R()?150?()?60000?2(mm/s2)

RR100?5t50a|d?r?(atII|t?10)2?(anII|t?10)2

a|d?r?(300?)2?(60000?2)2?300?1?40000?2(mm/s2)

[习题6-12]轮Ⅰ，Ⅱ，半径分别为ｒ１＝１５０ｍｍ，ｒ２＝２００ｍｍ，铰连于杆ＡＢ两端。两轮在半径Ｒ＝４５０ｍｍ的曲面上运动，在图示瞬时，Ａ点的加速度aA?1200mm/s，aA与ＯＡ成６０°角。试求：（１）ＡＢ杆的角速度与角加速度；（２）

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Ｂ点的加速度。

解：

（１）求ＡＢ杆的角速度与角加速度

tan300?aAn1 ?aAt3aAt?3aan

2222aA?aAt?aAn?3aAn?aAn?2aAn?1200

aAn?600(mm/s2)

2vA?600 R?r1vA?600(R?r1)?600(450?150)?600(mm/s) (R?r1)?AB?600

?AB?600600??1(rad/s) R?r1450?150aAt?3aan?6003(mm/s2) (R?r1)??AB?6003

?AB?60036003??3?1.732(rad/s2)

R?r1450?150（２）求Ｂ点的加速度

aBt?(R?r2)??AB?(450?200)3?6503(mm/s2)

2aBn?(R?r2)??AB?(450?200)?12?650(mm/s2)

22aB?aBt?aBn?(6503)2?6502?2?650?1300(mm/s2)

[习题6-13] 以匀速率ｖ拉动胶片将电影胶卷解开。当胶卷半径减小时，胶卷转速增加。若胶片

?v2厚度为δ，试证明当胶卷半径为ｒ时，胶卷转动的角加速度??。

2?r3 8