《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解

第六章 刚体的基本运动 习题全解

[习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为??4t?3t3（?以rad计，t以s计）。试求物体内与转动轴相距r?0.5m的一点，在t0?0与t1?1s时的速度和加速度的大小，并问物体在什么时刻改变它的转向？ 解：

d?d?(4t?3t3)?4?9t2 dtdtd?d?(4?9t2)??18t 角加速度：??dtdt速度： v?r??r(4?9t2)

角速度： ?? v|t?0?r??0.5?(4?9?02)?2(m/s) v|t?1?0.5?(4?9?12)??2.5(m/s) 切向加速度：at????r(?18t)??18rt

[r(4?9t2)]2法向加速度：an???r(4?9t2)2

?r加速度： a?22at2?nn?(?18rt)2?[r(4?9t2)2]2?r32t4?(4?9t2)4

2242 a|t?0?r324?0?(4?9?0)?0.5?16?8(m/s) 2242 a|t?1?r324?1?(4?9?1)?0.5?30.81?15.405(m/s)

v2物体改变方向时，速度等于零。即：

v?r(4?9t2)?0

2t?(s)?0.667(s)

3[习题6-2] 飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。后因刹车，该点以

at?0.1t(m/s2)作减速运动。设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及

ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向加速度。 解：

d2?at????0.42??0.1t （作减速运动，角加速度为负）

dtd2???0.25t 2dtd???0.125t2?C1 dt???0.0417t3?C1t?C2

d?v?R?0.4?(?0.125t2?C1)??0.05t2?0.4C1

dtv|t?0??0.05?02?0.4C1?10

1

C1?25

?|t?0??0.0417?03?C1?0?C2?0

C2?0，故运动方程为：

??0.0417t3?25t s?R??0.4(?0.0417t3?25t)??0.0167t3?10t

速度方程：v??0.05t?10

v|t?2??0.05?22?10?9.8(m/s) 切向加速度：at|t?2??0.1t??0.1?2??0.2(m/s2) 法向加速度：an???2?0.4?(?0.125t2?25)2

an|t?2?0.4?(?0.125?22?25)2?240.1(m/s2)

[习题6-3] 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。经过５分钟

?(rad/s)。试求转子在这段时间内转了多少转？ 后，转子的角加速度为??6002d?d??t2?kt ? dtdt15023kt?t???C1 ???C2 215033k?02?0?|t?0??C1?0?|t?0??C2?0

21503 C2?0

C1?0 3?t?? kt2450??

23??300?|t?300s??60000?， k?3002450?|t?300s??600?260000?＝30000（r) 转数N＝

2?2?600??k?? 275300kt2?t2???

2150[习题6-4] 图示为把工件送入干燥炉内的机构，叉杆OA?1.5m，在铅垂面内转动，杆AB?0.8m，Ａ端为铰链，Ｂ端有放置工件的框架。在机构运动时，工件的速度恒为0.05m/s，ＡＢ杆始终铅垂。设运动开始时，角??0。求运动过程中角?与时间的关系。并求点Ｂ的轨

解：??迹方程。 解：

ＯＡ作定轴转动；ＡＢ作刚体的平动。 vA?vB?OA???0.05

yvAA1.5???0.05

vBB??0.05/1.5?1 30O?题6?4图x 2

d?1?0.05/1.5? dt301d??dt

301??t?C1

301?|t?0??0?C1?0

30C1?0 故

1??t

30xB?xA?1.5cos??1.5cost………………….(a) 30tyB?yA?0.8?1.5sin??0.8?1.5sin?0.8………(b)

30由(a) 、(b)得：

xy?0.82(B)2?(B)?1，即Ｂ点的轨迹方程为： 1.51.5xy?0.82()2?()?1 （圆） 1.51.5

[习题6-5] 揉茶机的揉桶由三个曲柄支持，曲柄的支座Ａ，Ｂ，Ｃ与支轴ａ，ｂ，ｃ都恰成等边三角形，如题6-3附图所示。三个曲柄长度相等，均为l?150mm，并以相同的转速

n?45r/min分别绕其支座在图示平面内转动。求揉桶中心点Ｏ的速度和加速度。

解：三根曲柄作定轴转动，揉桶作刚体平动，故a与O的速度、加速度相同。

??n2??3??45?? 603023va?l??150??3.14?706.5?707(mm/s)

2vO?va?707(mm/s)

a???2??4?150?0??4?150?2 aa?150?(1.5?3.14)2?3328(mm/s2) aO?aa?3328(mm/s2)

[习题6-6] 刨床上的曲柄连杆机构如题6-６附图所示，曲柄ＯＡ以匀角速ω０绕Ｏ轴转动，其转动方程为φ＝ω０ｔ。滑块Ａ带动摇杆Ｏ１Ｂ绕轴Ｏ１

3

转动。设ＯＯ１＝ａ，ＯＡ＝ｒ。求摇杆的转动方程和角速度。 解：

tan??rsin?0t

a?rcos?0t故摇杆的转动方程为：

??arctanrsin?0t

a?rcos?0tr?cos?0t?(a?rcos?0t)?rsin?0t?(?r?0sin?0t)d?1 ????0rsin?0t2dt(a?rcos?0t)21?()a?rcos?0tar?0cos?0t?r2?0cos2?0t?r2?0sin2?0tr2?0?ar?0cos?0t ??2?222222a?2arcos?0t?rcos?0t?rsin?0ta?r?2arcos?0t

[习题6-7] 槽杆ＯＡ可绕一端Ｏ转动，槽内嵌有刚连于方块Ｃ的销钉Ｂ，方块Ｃ以匀速率沿水平方向移动。设ｔ＝０时，ＯＡ恰在铅直位置。求槽杆ＯＡ的角速度与角加速度随时间ｔ变化的规律。

解：销钉Ｂ与Ｃ同在一方块上作刚体的平动，故它们的速度 度相同。

tan??vCt bvCt b??arctand??角速度： ??dtvCvCbvC1b2??2?? 22222vCt2bb?vCbb?vCtt1?()b3bvC2bvCtd?d12角加速度：?? ?(2)??bv??2vt??CC2222222222dtdtb?vCt(b?vCt)(b?vCt)[习题6-8] 带传动系统如图所示,两轮的半径分别为ｒ１＝７５０ｍｍ,ｒ２＝３００ｍｍ，轮Ｂ由静止开始转动，其角加速度为０.４πｒａｄ／ｓ。设带轮与带间无滑动，问经过多少秒后Ａ轮转速为３００ｒ／ｍｉｎ？ 解：

２

d?1?0.4? dtd?1?0.4?dt

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