2011年清北学堂物理集训一入学测试题

这个结果说明铅块能越过第9块不快到达最后一块不快。设此时铅块加速度、最后一块木块加速度、M的相对加速度分别为：aM??2(米/秒)

2a2m?1??1Mg??2?M?m?g??1.5(米/秒2) m2?a?M??3.5(米/秒)

?设M滑过最后一块木块是相对速度为v?M，有运动关系

22??2?????(v?)?v?2a?MMMl， (vM)??3.26?0

这个结果说明铅块只能停在最后一块木块上。设铅块在最后一块木块上经过位移x，而后停止，则0??v?M?2??2a?Mx，x?0.034(米)

即，铅块最后停在最后一块木块离左端x?0.034米处。

三、分析与解

我们讨论张角为??的那一小段圆弧，如图4-例4（b）所示，根据题文要求，我们只需考虑堤坝基底以上的那部分水流，而且是由河岸a、堤坝b，以及两个想象的截面c和d包围起来的那部分河流体积。动量经由c传递到体积内，再由d传出去，如图4-例4（c）所示传递动量的速率为

?P??v2??Av2 ?t其中?为河身单位长度的质量，即???A，A是位于堤坝基底以上河身的横截面积，

A?h?。

由于面c和面d不是平行的，两面间流水动量的时间变化率（单位时间动量的变换）为 ?P?Pd?Pc?? ?t?t?t由图4-例4（d）的矢量图可知，

?P的方向沿径向向里，且大小为 ?t?P?P??? ?t?t作用在点上的动态压力指向径向向外，即由河指向堤坝，作用在堤面(R??)?h上面，其大小相同。因而动压强为

?Av2??v2??P?动压强?????Rh????

?tRhR??动压强对坝底静压强的比值为

动压强??v21?v2宽度坝面处水流向心加速度???????

坝底静压强R?ghhRg深度g 对于在洪水期间水流速率4米/秒的河流，若河流拐弯处曲率半径为500米，水深1米，河宽60米，则次比值约为0.2，所以动压强不是不可以忽略的。接近河面处，静压强小，此比值还要大些。

四、分析与解

原系统在引力作用下，分别绕质心作圆周运动，相互不远离，这是一个被约束的系统，系统总机械能量必定小于零。在突然发生爆炸，使质量为M的星体损失质量?M的情况下，系统是否为约束系统的判定，必须把系统总机械能量除去质心平动动能后加以判定，即判定质心系中总机械能是否小于零，若小于零，系统便为约束系统，大于或者等于零则不是。 在超新星爆炸之前，质心静止。设以质心为原点，r1和r2为M和m至质心的距离。则

r1?r2?d

r1?mdMd，r2?

M?mM?m2两星体在万有引力作用下绕质心作圆周运动，设?为运动角速度，写出其中一个星体的运

GMm 2dG(M?m)2解得??

d3动学方程Mr1??在此式中，?仅与两质量之和有关，所以m绕质心的角速度也为此值。

超新星爆炸之后瞬间，?M脱离星体M，剩余的质量M??M相对原质心的角度度未

G(M??M)m

d1122在新质心系中的动能为Erk?(M??M)(r1?)?m(r2?)?Ek0

22变，两星距离未变。所以新系统的新势能为Ep??其中Ek0为质心的动能。为了求出Ek0，先求质心速度：

vc?m(r2?)?(M??M)(r1?)?M(r1?) ?M??M?mM??M?m这里利用了两星体速度方向相反这一事实，且mr2??Mr1?。所以新系统在新质心系中的

G(M??M)m11?(M??M)(r1?)2?m(r2?)2d22总机械能为

(?M)2(r1?)21?(M??M?m)2(M??M?m)2Ep?Ek??利用新系统为约束系统的条件为Ep?Ek?0 整理后得到：?M?运算中利用了

五、参考答案

1(M?m) 2rGmm，以及式r1和r2的表达式。 r1d?2，1?r2Md