高考数学第四章简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案文新人教A版

A．－

2 3

B.

2 3

1C．－

31D． 3

11cos 2α解析：选A.因为sin α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，所以＝

33π??sin?α＋?4??1

－22

3cosα－sinα（cos α－sin α）（cos α＋sin α）2

＝＝＝－，故选

ππ322

sin αcos＋cos αsin（sin α＋cos α）4422A.

3．(2020·长春市质量监测(二))直线y＝2x绕原点顺时针旋转45°得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos 2α的值为( )

A.

8＋10

10

B.8－10

10

4C．－

54D． 5

解析：选D.设直线y＝2x的倾斜角为β，则tan β＝2，α＝β－45°， tan β－tan 45°1

所以tan α＝tan(β－45°)＝＝，

1＋tan 45°·tan β31－tanα4

cos 2α＝cosα－sinα＝＝，故选D. 2

1＋tanα5

2

2

2

三角函数公式的逆用与变形应用(师生共研)

(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为( ) A．－1C. 2

2 2

B.2 2

1D．－

2

(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋

β)＝ ．

tan A＋tan B【解析】 (1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，

1－tan Atan B即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)， 3ππ2

所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.

442

(2)因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，

所以sinα＋cosβ＋2sin αcos β＝1 ①， cosα＋sinβ＋2cos αsin β＝0 ②，

①②两式相加可得sinα＋cosα＋sinβ＋cosβ＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，

1

所以sin(α＋β)＝－.

21

【答案】 (1)B (2)－ 2

(1)三角函数公式活用技巧

①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；

②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．

(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题

①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；

13

②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，3等这些数值时，一定要考虑引入特

22殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．

1．(1－tan15°)cos15°的值等于( ) A.C.1－3

23 2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

22

B．1 1D． 2

2

解析：选C.(1－tan15°)cos15°＝cos15°－sin15°＝cos 30°＝π?12?2．已知sin 2α＝，则cos?α－?＝( ) 4?3?1

A．－ 32C．－ 3

1B. 32D． 3

3. 2

π??1＋cos?2α－?2?11π?1112?2?解析：选D.cos?α－?＝＝＋sin 2α＝＋×＝.

4?2222233?3．(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝ ．

解析：(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1

＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2.

答案：2

两角和、差及倍角公式的灵活应用(多维探究) 角度一 三角函数公式中变“角”

(2020·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈?

π?24π?3??＝－，sin?β－?＝，则cos?α＋?＝ ． 4?254?5??

【解析】 由题意知，α＋β∈?＝

?3π，π?，sin(α＋β)

?

?4?

?3π，2π?，sin(α＋β)＝－3<0，所以cos(α＋β)

?5?2?

π?π?4π7?π3π???，因为β－∈?，?，所以cos?β－?＝－，cos?α＋?＝

4?4?4?5425?2??

π??π?π?4????cos?（α＋β）－?β－??＝cos(α＋β)cos?β－?＋sin(α＋β)sin?β－?＝－.

4??4?4?5????

4

【答案】 －

5

角度二 三角函数公式中变“名”

1＋cos 20°?1－tan 5°?.

求值：－sin 10°??2sin 20°?tan 5°?

2

2cos10°?cos 5°－sin 5°?

【解】 原式＝－sin 10°??2×2sin 10°cos 10°?sin 5°cos 5°?

cos 10°cos5°－sin5°＝－sin 10°· 2sin 10°sin 5°cos 5°＝

cos 10°cos 10°

－sin 10°·

2sin 10°1

sin 10°2

cos 10°cos 10°－2sin 20°

－2cos 10°＝

2sin 10°2sin 10°cos 10°－2sin（30°－10°）

2sin 10°

22

＝＝

3?1?

cos 10°－2?cos 10°－sin 10°?

23sin 10°3?2?

＝＝＝.

2sin 10°2sin 10°2

三角函数公式应用的解题思路

(1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)

－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，?

?π＋α?＋?π－α?＝π，α＝2×α等．

??4?22

4?4???

(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．

[提醒] 转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．

1．(2020·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ ．

解析：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3， 所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝－1.

tan α＝tan(α＋β－β)＝1

答案：－1

2

2．求4sin 20°＋tan 20°的值． sin 20°

解：原式＝4sin 20°＋

cos 20°＝

2sin 40°＋sin 20°2sin （60°－20°）＋sin 20°

＝

cos 20°cos 20°3cos 20°－sin 20°＋sin 20°

＝3.

cos 20°

－1－（－3）1

＝.

1＋（－1）×（－3）2

tan（α＋2β）－tan β2－（－3）

＝

1＋tan（α＋2β）tan β1＋2×（－3）

＝

[基础题组练]

1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( ) 1

A. 2C.2 2

B.3 33 2

D．

解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73° ＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17° 1

＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝. 2

?π?4

2．(2020·福建五校第二次联考)已知cos?－α?＝，则sin 2α＝( )

?4?5