高考数学第四章简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案文新人教A版

第3讲 简单的三角恒等变换

一、知识梳理

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α?β)＝cos αcos β±sin αsin β；

πtan α±tan β?α±β，α，β均不为kπ＋，k∈Z?tan(α±β)＝??.

21?tan αtan β??2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α；

cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα； π2tan α?

α，2α均不为kπ＋，k∈Z?tan 2α＝??. 2

21－tanα??3．三角函数公式的关系

2

2

2

2

常用结论

四个必备结论

1＋cos 2α1－cos 2α22

(1)降幂公式：cosα＝，sinα＝. 22(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cosα，1－cos 2α＝2sinα. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1±tan αtan β)， 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)，

22

2

1－sin 2α＝(sin α－cos α)， π??sin α±cos α＝2sin?α±?. 4??(4)辅助角公式

2

basin x＋bcos x＝a2＋b2sin (x＋φ)，其中tan φ＝.

a二、习题改编

π?15??π5?1．(必修4P137A组T5改编)已知sin ?α－?＝，α∈?，π?，则sin α的值3?17??26?为( )

A.

8

1715－83

34

B.

153＋8

34

C.

15＋83D．

34

?π5?所以α－π∈?π，π?，?α－π?>0，?α－π?解析：选D.因为α∈?，π?，coscos??????2?3?3?3?6?26???

＝

π?π?π?π?8π???15???1－??＝，所以sin α＝sin??α－3?＋?＝sin?α－?cos ＋cos?α－?3?3?3?3??17?17????

2

π1518315＋83

sin ＝×＋×＝.故选D.

317217234

2．(必修4P131练习T5改编)计算：sin 108°cos 42°－cos 72°·sin 42°＝ ． 解析：原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 172°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.

2

1答案：

2

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．( ) (2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( )

1

(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.( )

2tan α＋tan β(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1

1－tan αtan β－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )

(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )

答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏

常见误区(1)不会用公式找不到思路； (2)不会合理配角出错．

π?4?1．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin?α＋?＝( ) 4?5?A．－

2

10

B.2 10

72C．－

1072D．

10

42

解析：选C.因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cosα＝－

5π?3ππ?3?2?4?272?，所以sin?α＋?＝sin α·cos＋cos αsin＝?－?×＋?－?×＝－. 4?544?5?2?5?210?

2．sin 15°＋sin 75°的值是 ．

解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝6

. 2答案：

6 2

第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

三角函数公式的直接应用(师生共研)

?π? (1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈?0，?，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α2??

＝( )

1

A. 5C.3 3

B.5 5

25D．

5

5π1

(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan(α－)＝，则tan α＝ ．

45

?π?2

【解析】 (1)依题意得4sin αcos α＝2cosα，由α∈?0，?，知cos α>0，所

2??

122222

以2sin α＝cos α.又sinα＋cosα＝1，所以sinα＋4sinα＝1，即sinα＝.又

5

α∈?0，?，所以sin α＝

2

??

π?

?

5

，选B. 5

5π

tan α－tan

415π?1tan α－11?(2)法一：因为tan?α－?＝，所以＝，即＝，解得

4?55π51＋tan α5?

1＋tan αtan

43

tan α＝.

2

5π?5π?5π?1???法二：因为tan?α－?＝，所以tan α＝tan??α－?＋?＝4?4?4?5???5π?5π1?tan?α－?＋tan＋1

4?45?3

＝＝.

5π?5π12?1－×11－tan?α－?tan4?54?

3

【答案】 (1)B (2) 2

利用三角函数公式时应注意的问题

(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．

(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．

?π??π?1．(2020·石家庄市模拟(一))已知cos?＋α?＝2cos(π－α)，则tan?＋α?＝

?2??4?

( )

A．－3 1

C．－ 3

解析：选A.因为cos?

B．3 1D． 3

?π＋α?＝2cos(π－α)，所以－sin

α＝－2cos α，所以tan α?

?2?

?π?1＋tan α＝－3，故选A.

＝2，所以tan?＋α?＝

?4?1－tan α1cos 2α?π?2．已知sin α＝＋cos α，且α∈?0，?，则的值为( )

2?3π???sin?α＋?4??