2016-2017学年人教版高中数学选修2-2-模块综合测评

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若S1，S2，S3成等比数列，问：数列{Sn}是否成等比数列？请说明你的理由． 【解】 ∵S1，S2，S3成等比数列， ∴S1＝a1≠0，且S1·S3＝S22，

2由S1·S3＝S22，得a1(a4＋a5＋a6＋a7)＝(a2＋a3)，

3即a1(4a1＋18d)＝(2a1＋3d)2,2a1d＝3d2.∴d＝0或a1＝d.

2当d＝0时，Sn＝2n－1a1≠0，

Sn＋12na1

*，{S}成等比数列； ＝＝2(常数)，n∈Nn

Sn2n－1a13

当a1＝d时，

2

2n－1?2n－1－1?

Sn＝a2n－1＋a2n－1＋1＋a2n－1＝2n－1a2n－1＋d

22n－1?2n－1－1?

＝2n－1[a1＋(2n－1－1)d]＋d

23?3n－1?3n－1

2＋a1－d?＝d·＝2n－1?2d·2?24≠0， ?

Sn＋1

*，{S}成等比数列． ＝＝4(常数)，n∈Nn

Sn3n－1

d·42综上所述，若S1，S2，S3成等比数列，则{Sn}成等比数列．

20．(本小题满分12分)已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．

(1)求函数f(x)的解析式；

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(2)设函数g(x)＝f(x)＋ax3＋x2－b(x∈R)，其中a，b∈R，若函数g(x)仅在

42x＝0处有极值，求a的取值范围. 【导学号：60030090】

【解】 (1)因为f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，

9

3n

d·42

所以－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0， 所以－1

19

(2)由(1)知g(x)＝x4＋ax3＋x2－b，

42

则g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根． 为使g(x)仅在x＝0处有极值， 必须x2＋3ax＋9≥0恒成立，

即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式得a∈[－2,2]． 这时，g(0)＝－b是唯一极值，所以a∈[－2,2]．

21．(本小题满分12分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足1?1?Sn＝?an＋a?.

2?n?

(1)求a1，a2，a3；

(2)由(1)猜想到数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 1?1?

【解】 (1)由S1＝a1＝?a1＋a?，得a21＝1， 2?1?因为an>0，所以a1＝1.

1?1?由S2＝a1＋a2＝?a2＋a?，得a22＋2a2－1＝0，所以a2＝2－1， 2?2?1?1?a＋?由S3＝a1＋a2＋a3＝3a?， 2?3?得a23＋22a3－1＝0，所以a3＝3－2. (2)猜想an＝n－

n－1(n∈N*)．

证明：①当n＝1时，

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a1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时， ak＝k－

k－1成立，

则n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk

1?1?ak＋1＋1?1??－?ak＋a?，即ak＋1 ＝?

ak＋1?2?2?k?1?ak＋1＋1??＝?

ak＋1? 2?1?k－

－?2?

k－1＋1k－?? k－1?

1?ak＋1＋1??＝?

ak＋1?－k， 2?所以a2k＋1＋2kak＋1－1＝0. 所以ak＋1＝

k＋1－k，

则n＝k＋1时，命题成立． 则①②知，n∈N*，an＝n－

n－1.

x－1be

22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝aexln x＋x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))

处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.

(1)求a，b； (2)证明：f(x)>1.

【解】 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， abb

f′(x)＝aexln x＋xex－2ex－1＋xex－1.

x

由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.故a＝1，b＝2.

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2

(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x＋xex－1， 2

从而f(x)>1等价于xln x>xe－x－.

e设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x. ?1?

所以当x∈?0，e?时，g′(x)<0；

???1?

当x∈?e，＋∞?时，g′(x)>0.

??

?1??1?

故g(x)在?0，e?上单调递减，在?e，＋∞?上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)

????上的最小值为

1?1?g?e?＝－. ??e设函数

h(x)＝xe－x－

2

，则h′(x)＝e－x(1－x)． e

所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.

故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 1

从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.

e综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.

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