2016-2017学年人教版高中数学选修2-2-模块综合测评

11－1a＝?x3dx，b＝1－?1xdx，c＝?1

2?0?0?0

10．设x3dx则a，b，c的大小关系( )

A．a>b>c C．a>c>b

【解析】 由题意可得a＝??0

1x1

1x－

1

B．b>a>c D．b>c>a 31＝； | dx＝x03232

32

231?2?1| b＝1－?2dx＝1－x20＝1－?3－0?＝；

3??3?0c＝?

?0

1x3dx＝

x411

| ＝.综上，a>b>c. 404

【答案】 A

11．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成111

立时，f(n)＝1＋＋＋…＋n增加的项数是( )

232－1

A．1 C．2k－1

B．2k＋1 D．2k

111

【解析】 ∵f(k)＝1＋＋＋……＋k，

232－1

111111

又f(k＋1)＝1＋＋＋…＋k＋k＋k＋…＋k1.

232－122＋12＋－1从f(k)到f(k＋1)是增加了(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项． 【答案】 D

12．已知函数f(x)＝x3－ln(x2＋1－x)，则对于任意实数a，b(a＋b≠0)，f?a?＋f?b?

则的值为( )

a＋b

A．恒正 C．恒负

B．恒等于0 D．不确定

x2＋1－x)＋(－x)3－ln(

x2＋1

【解析】 可知函数f(x)＋f(－x)＝x3－ln(＋x)＝0，

所以函数为奇函数，同时，

5

f′(x)＝3x2＋

1x2＋1

>0，f(x)是递增函数，

f?a?＋f?b?a＋b

＝

f?a?－f?－b?a－?－b?

，所以

f?a?＋f?b?

>0，所以选A.

a＋b

【答案】 A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

3＋i

13．复数2(i为虚数单位)的实部等于________．

i3＋i

【解析】 ∵2＝－3－i，∴其实部为－3.

i【答案】 －3

14．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．

【解析】 第n个等式左边为1到n＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.

【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212

1

15．曲线y＝sin x(0≤x≤π)与直线y＝围成的封闭图形的面积为__________.

2【导学号：60030089】

1

【解析】 由于曲线y＝sin x(0≤x≤π)与直线y＝2的交点的横坐标分别为x?5π?1?1?π5π?

sin x－2?－cos x－2x?dx＝?＝6及x＝6，因此所求图形的面积为?6∫????? ?π

?6π3－3. 【答案】

π3－

3

＝

16．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝

6

________ .

【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n， ∴由已知可得

322??f?－1?＝?－1?＋3m?－1?＋n?－1?＋m＝0，

?

2??f′?－1?＝3×?－1?＋6m?－1?＋n＝0，

???m＝1，?m＝2，

∴?或? ???n＝3?n＝9，

??m＝1，当?时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立与x＝－1是极值??n＝3点矛盾，

??m＝2，当?时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)， ??n＝9显然x＝－1是极值点，符合题意，∴m＋n＝11. 【答案】 11

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

?1＋i?2＋3?1－i?17．(本小题满分10分)设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求

2＋i实数a，b的值．

?1＋i?2＋3?1－i?2i＋3－3i3－i

【解】 z＝＝＝ 2＋i2＋i2＋i?3－i??2－i?5－5i

＝＝＝1－i.

55因为z2＋az＋b＝(1－i)2＋a(1－i)＋b ＝－2i＋a－ai＋b＝(a＋b)－(2＋a)i＝1＋i，

7

???a＋b＝1，?a＝－3，所以?解得?

???－?2＋a?＝1，?b＝4.

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1. (1)当a＝－2时，讨论f(x)的单调性；

(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围． 【解】 (1)当a＝－2时，f(x)＝x3－32x2＋3x＋1， f′(x)＝3x2－62x＋3.

令f′(x)＝0，得x1＝2－1，x2＝2＋1.

当x∈(－∞， 2－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，2－1)上是增函数； 当x∈(2－1，2＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(2－1, 2＋1)上是减函数； 当x∈(2＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(2＋1，＋∞)上是增函数． 5(2)由f(2)≥0，得a≥－.

45

当a≥－，x∈(2，＋∞)时，

45??

f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3?x2－2x＋1?

???1?＝3?x－2?(x－2)＞0，

??

所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0. ?5?综上，a的取值范围是?－4，＋∞?.

??

19．(本小题满分12分)设等差数列{an}的公差为d，Sn是{an}中从第2n1项开始的连续2n－1项的和，即

S1＝a1， S2＝a2＋a3， S3＝a4＋a5＋a6＋a7， ……

Sn＝a2n－1＋a2n－1＋1＋…＋a2n－1，

8

－