江苏版2018年高考数学一轮复习专题6.2等差数列及其求和练

专题6.2 等差数列及其求和

【基础巩固】

一、填空题

1．(2017·南京模拟)在等差数列{an}中，已知a1＋a7＝10，则a3＋a5＝________. 【答案】10

【解析】∵{an}是等差数列， ∴a3＋a5＝a1＋a7＝10.

2．(2017·南通调研)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d＝________. 【答案】－3

3．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________． 【答案】5

【解析】设该数列的首项为a1，根据等差数列的性质可得a1＋2 015＝2×1 010，从而a1＝5. 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________. 【答案】60

【解析】∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， ∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.

5．(2017·徐州、宿迁、连云港模拟)在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则3a9－a11的值为________． 【答案】48

【解析】由a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，得a8＝24，故3a9－a11＝3(a1＋8d)－(a1＋10d)＝2a1＋14d＝2(a1＋7d)＝2a8＝48.

6．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝________. 【答案】100

【解析】设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，

∴{an＋bn}为等差数列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100， ∴{an＋bn}为常数列，∴a37＋b37＝100.

7．(2017·泰安模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－11，a5＋a9＝－2，则当Sn取最小值时，n＝________. 【答案】7

??a2＝－11，

【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由?

??a5＋a9＝－2，??a1＝－13，

解得?

?d＝2.?

??a1＋d＝－11，

得???2a1＋12d＝－2，

∴an＝－15＋2n.

15

由an＝－15＋2n≤0，解得n≤.又n为正整数，

2∴当Sn取最小值时，n＝7.

8．正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2an＝an＋1＋an－1(n∈N，n≥2)，则a7＝________. 【答案】19

2

2

2

*

二、解答题

9．等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.

解 (1)设数列{an}首项为a1，公差为d，

??2a1＋5d＝4，

由题意有?

?a1＋5d＝3.?

a1＝1，??

解得?2

d＝.??5

2n＋3. 5

所以{an}的通项公式为an＝(2)由(1)知，bn＝?

?2n＋3?.

??5?

2n＋3

当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；

52n＋3

当n＝4,5时，2≤<3，bn＝2；

5

2n＋3

当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；

52n＋3

当n＝9,10时，4≤<5，bn＝4.

5

所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.

10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数． (1)证明：an＋2－an＝λ；

(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

【能力提升】

11．(2017·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和1

的是较小的两份之和，则最小的一份为________． 75

【答案】

3

【解析】依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a－2m，a－m，a，a＋m，a＋2m，则有

??5a＝100，?

?a＋a＋m?

＋a＋2m＝7a－2m＋a－m，

11aa5

解得a＝20，m＝，a－2m＝＝，即

24123

5

其中最小一份为. 3

12．(2017·泰州模拟)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝24，则a6·a7的最大值为________． 【答案】4

【解析】在等差数列{an}中，∵S12＝6(a6＋a7)＝24，∴a6＋a7＝4，令x>0，y>0，由基本不等式可得x·y≤?

?x＋y?2，当且仅当x＝y时“＝”成立．又a>0，a>0，∴a·a≤?a6＋a7?2＝4，

?6767?2??2???

当且仅当a6＝a7＝2时，“＝”成立．即a6·a7的最大值为4.

Sn2n－3a9

13．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则

Tn4n－3b5＋b7

＋

a3

b8＋b4

的值为________．

19

【答案】

41

【解析】∵{an}，{bn}为等差数列， ∴∵

a9

b5＋b7b8＋b4

＋a3

＝a9a3a9＋a3a6

＋＝＝. 2b62b62b6b6

S11a1＋a112a62×11－319

＝＝＝＝， T11b1＋b112b64×11－341

a619∴＝. b641

14．设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．

(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2(n∈N)，证明：{an}是“H数列”；

(2)设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值； (3)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N)成立．

*

n*