[最高考]2015届高考数学二轮专题突破课堂讲义 第7讲 三角函数的图象与性质

专题二 三角函数与平面向量 第7讲 三角函数的图象与性质

1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质．

2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．

3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．

π?2?1. 函数y＝2sin?x－?－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函4??

数．

答案：π 奇

π??解析：y＝－cos?2x－?＝－sin2x. 2??

2. 函数f(x)＝lgx－sinx的零点个数为________． 答案：3

解析：在(0，＋∞)内作出函数y＝lgx、y＝sinx的图象，即可得到答案．

π?π?3. 函数y＝2sin(3x＋φ)，?|φ|

π答案：

4

ππππ

解析：由已知可得3×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.因为|φ|<，12242

π

所以φ＝.

4

?π?4. 若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间?0，?上的最大值是2，则ω＝________．

3??

3答案： 4

πωππ?π?解析：由0≤x≤，得0≤ωx≤<，则f(x)在?0，?上单调递增，且在这个区间

3?333?

ωπωππωππ3

上的最大值是2，所以2sin＝2，且0<<，所以＝，解得ω＝.

333344

题型二 三角函数定义及应用问题

例1 设函数f(θ)＝3sinθ＋cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.

3??1

(1) 若点P的坐标是?，?，求f(θ)的值；

?22?

- 1 -

x＋y≥1，??

(2) 若点P(x，y)为平面区域?x≤1，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求

??y≤1函数f(θ)的最小值和最大值．

解：(1) 根据三角函数定义得sinθ＝

31

，cosθ＝，∴ f(θ)＝2.(本题也可以根据定22

π

义及角的范围得角θ＝，从而求出 f(θ)＝2)．

3

(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤

π

，又f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝2

π?π?2sin?θ＋?，∴ 当θ＝0，f(θ)min＝1；当θ＝，f(θ)max＝2. 6?3?

(注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y＝Asin(ωx＋φ)的形式)

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与

225

单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.求：

105

(1) tan(α＋β)的值； (2) α＋2β的值．

解：由题意得cos α＝＝

225?π?2，cos β＝，α、β∈?0，?，所以sin α＝1－cosα

2?105?

7252

，sin β＝1－cosβ＝， 105

1

因此tan α＝7，tan β＝.

2

tanα＋tanβ

(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.

1－tanαtanβ1

1－7×

2

1－3＋

2

(2) tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.

1

1－（－3）×

2

3π?3π?又α＋2β∈?0，?，所以α＋2β＝. 2?4?

题型二 三角函数的图象与解析式问题

例2 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示． (1) 求f(0)的值；

?π?(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间?0，?上的取值范围．

3??

17＋2

- 2 -

解：(1)由题图可知A＝2， T7πππ7π3π∵ ＝－＝，∴ ω＝2.又2×＋φ＝2kπ＋， 41234122

π

∴ φ＝2kπ＋(k∈Z)，

3

π?6?∴ f(0)＝2sin?2kπ＋?＝. 3?2?

π?ππππ?(2) φ＝，f(x)＝2sin?2x＋?.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤π，所以3?3333?

π??0≤sin?2x＋?≤1，即f(x)的取值范围为[0，2]． 3??

(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)

已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A、B、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且1

当x＝时，f(x)max＝2.

3

(1) 求f(x)的解析式；

?2123?(2) 在闭区间?，?上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果?44?

不存在，请说明理由．

2π22

解：(1) 因为f(x)＝A＋Bsin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π.

ω

11ππ

又当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)

3326

π?π???＝2sin?πx＋2kπ＋?＝2sin?πx＋?(k∈Z)． 6?6???

π??故f(x)的解析式为f(x)＝2sin?πx＋?. 6??

(2) 当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称

ππ1211235965

轴，令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k＋(k∈Z)，由≤k＋≤，解得≤k≤.

6234341212

16?2123?又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间?，?上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝. 3?44?

题型三 三角函数的性质与图象的移动问题

22

例3 把函数f(x)＝sinx－2sinxcosx＋3cosx的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，

17π

所得函数的图象关于直线x＝对称．

8

(1) 求m的最小值；

?17π，－15π?时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为

(2) 证明：当x∈?－

88???

负数；

(3) 设x1，x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值．

- 3 -

(1) 解：f(x)＝sinx－2sinxcosx＋3cosx＝π??sin2x＋2＝2cos?2x＋?＋2. 4??

22

1－cos2x1＋cos2x

－sin2x＋3·＝cos2x－22

π??因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，得到g(x)＝2?2（x＋m）＋?＋2

4??

17π

的图象，又g(x)的图象关于直线x＝对称，

8

?17π＋m?＋π＝kπ，即m＝（2k－9）π(k∈Z)． 所以2??4

4?8?

π

因为m>0，所以m的最小值为. 4

?17π，－15π?，所以－4π<2x＋π<－7π，所以f(x)在

(2) 证明：因为x∈?－88?42??

?－17π，－15π?上是减函数．?17π，－15π?，

所以当x1、x2∈?－都有f(x1)>f(x2)，???且x1

88?88???

f（x1）－f（x2）

从而经过任意两点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))的直线的斜率k＝<0.

x1－x2

π?2?(3) 解：令f(x)＝1，所以cos?2x＋?＝－. 4?2?

π?π9π?因为x∈(0，π)，所以2x＋∈?，?.

4?4?4

π3ππ5πππ

所以2x＋＝或2x＋＝，即x＝或x＝. 444442

ππ3π

因为x1、x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，所以x1＋x2＝＋＝ 424

已知函数f(x)＝2sinωx，其中常数ω>0.

?π2π?(1) 若y＝f(x)在?－，?上单调递增，求ω的取值范围；

3??4

π

(2) 令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函

6

数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a

ππ－ω≥－42

解：(1) 因为ω>0，根据题意有

2ππω≤32

30<ω≤.

4

π?π??π???(2) f(x)＝2sin2x，g(x)＝2sin2?x＋?＋1＝2sin?2x＋?＋1，g(x)＝0sin?2x＋?6?3?3????

1π7π2π＝－x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z, 即g(x)的零点相邻间隔依次为和，故若y

231233

2ππ43π

＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝. 333

??

???

已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，

- 4 -