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1A． 32C． 31B． 23D． 2y2＝1、3D 解析 由c2＝a2＋b2＝4得c＝2、所以F(2,0)、将x＝2代入x2－13得y＝±3、所以|PF|＝3.又A的坐标是(1,3)、故△APF的面积为×3×(2－1)＝.22故选D项． 6．(20xx·全国卷Ⅲ)设F1、F2为椭圆C：x2y2＋＝1的两个焦点、3620M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形、则M的坐标为________． 解析 由已知可得a2＝36、b2＝20、所以c2＝a2－b2＝16、所以c＝4、因为M为C上一点且在第一象限、所以|MF1|＝|F1F2|＝2c＝8、所以|MF2|＝2a－|MF1|＝12－8＝4. 设点M的坐标为(x0、y0)(x0>0、y0>0)、 1则S△MF1F2＝·|F1F2|·y0＝4y0、 21又S△MF1F2＝·|MF2|·21?1?|F1F2|2－?|MF2|?2＝×4×82－22＝415、 2?2?x20＋错误!＝1、解得x0＝3(x0＝－3舍36所以4y0＝415、解得y0＝15、所以去)、所以M的坐标为(3，15). 答案 (3，15) 7．(20xx·浙江卷)已知椭圆x2y2＋＝1的左焦点为F、95点P在椭圆上且在x轴的上方、若线段PF的中点在以原点O为圆心、|OF|为半径的圆上、则直线PF的斜率是________． 5 / 11 解析 设线段PF的中点为M、F1为椭圆的右焦点、由题意可知|OF|＝|OM|＝c＝2、由中位线定理可得|PF1|＝2|OM|＝4、由椭圆的焦半径公式可得|PF1|＝a－152?32315??、所以kPF＝exP＝3－xP＝4?xP＝－、从而可求得P?－，＝15. 3212??2 2答案 15 8．(20xx·陕西汉中联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F、点P(x0,3)为抛物线C上一点、且点P到焦点F的距离为4、过A(a,0)作抛物线C的切线AN(斜率不为0)、切点为N. (1)求抛物线C的标准方程； (2)求证：以FN为直径的圆过点A． pp解析 (1)由题知|PF|＝yp＋、所以4＝3＋、解得p＝2、所以抛物线C的标22准方程为x2＝4y. (2)证明：设切线AN的方程为y＝k(x－a)、k≠0、联立错误!消去y可得x2－4kx＋4ka＝0、由题意得Δ＝16k2－16ka＝0、即a＝k、所以切点N(2a、a2)、 →又F(0,1)、所以→AF·AN＝(－a,1)·(a、a2)＝0. 所以∠FAN＝90°、故以FN为直径的圆过点A． 9．(20xx·广东江门模拟)在直角坐标系xOy中、椭圆的中心在原点、2离心率为、一个焦点是F(－1,0)． 2(1)求椭圆的标准方程； (2)点B是椭圆与y轴负半轴的交点、经过F的直线 l与椭圆交于点M、N、经过B且与l平行的直线与椭圆交于点A、若|MN|＝2|AB|、求直线l的方程． x2y2解析 (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)、 a2b2c2依题意知、c＝1、e＝＝、所以a＝2、b2＝a2－c2＝1、 a2所以所求椭圆的标准方程为x22＋y＝1. 2 6 / 11 (2)因为|MN|＝2|AB|>|AB|、所以MN与x轴不垂直、设直线l的方程为y＝k(x＋1)、 由错误!得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0、 设M(x1、y1)、N(x2、y2)、 4k22k2－2则x1＋x2＝－、x1x2＝、 2k2＋12k2＋1所以|x1－x2|＝错误!＝错误!、 依题意知点B(0、－1)、kAB＝k、 所以直线AB的方程为y＝kx－1、 设A(x3、y3)、B(x4、y4)、同理可得|x3－x4|＝因为|MN|＝2|AB|、 所以k2＋1|x1－x2|＝错误!|x3－x4|、 从而错误!＝错误!|4k|、即k＝±错误!、 3所以直线l的方程为y＝±(x＋1)． 3|4k|. 2k2＋1 能力提升(建议用时：25分钟) 10．(20xx·天津卷)已知抛物线y2＝4x的焦点为F、准线为l、若l与双曲线x2a2y2－＝1(a>0、b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B、且|AB|＝4|OF|(O为原点)、b2则双曲线的离心率为( ) 7 / 11 A．2 C．2 B．3 D．5 D 解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)、准线l的方程为x＝－1、所以|OF|b?b?b??＝1、又双曲线的渐近线方程为y＝±x、不妨设A?－1，?、B?－1，－?、所以a?a?a??|AB|＝2bca2＋b2＝4|OF|＝4、所以b＝2a、所以e＝＝＝5.故选D项． aaa2x2y211．(20xx·四川绵阳期末)已知离心率为的椭圆C：＋3a2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2、点P在椭圆C上、点M为△PF1F2的内心、且△MPF1、△MPF2、△MF1F2的面积分别为S△MPF1、S△MPF1S△MPF2、S△MF1F2、若S△MPF1＋3S△MPF2＝2S△MF1F2、则S△MPF2的值为________． 解析 由题意可知离心率e＝b22b251－＝、所以＝、所以设a＝3m、则ca23a29＝2m.因为点M为△PF1F2的内心、所以设△PF1F2内接圆M的半径为r、由S△111MPF1＋3S△MPF2＝2S△MF1F2得PF1·r＋3×PF2·r＝2×F1F2·r、化简得PF1222＋3PF2＝2F1F2、设PF2＝n、则PF1＝2a－n、所以2a－n＋3n＝4c、即n＝2c－a、所以PF2＝2c－a、PF1＝3a－2c、所以答案 5 12．(20xx·四川绵阳期末)设M、N为抛物线C：y2＝2px(p>0)上的两点、1M与N连线的中点的纵坐标为4、直线MN的斜率为. 2(1)求抛物线C的方程； (2)已知点P(1,2)、A、B为抛物线C(除原点外)上不同的两点、直线PA、PB的斜率分别为k1、k2、且满足11－＝2、记抛物线C在A、k1k2S△MPF1PF13a－2c9m－4m＝＝＝＝5. S△MPF2PF22c－a4m－3mB处的切线交于点S(xS、yS)、若点A、B连线的中点的纵坐标为8、求点S的坐标． 8 / 11