热物理过程的数值模拟-计算传热学3

可。

（对流动问题，采用原始变量法时，亦需应用交错网格）

对于扩散（导热）问题，当计算区域的边界正好与正交曲线坐标系的坐标相吻合时，采用相当导热体的概念可以使这类问题的计算得到简化，无内热源时，能量方程为

或

hhh3?th1h2h3?th1h2h3?t??(?12)?(?)(?)?0 222?x1?x2h1?x1h2?x3h3?x3h1h2h3?t?(?)?0 ?2?x?xhi?1iii3如果把x1,x2及x3视为一新直角坐标系中的三个坐标，把?h1h2h3作为相当导热系数，记着2h1?*i，则上式化为

?*?t(?i)?0 ??x?xi?1ii3这样，在原直角坐标系中的一个曲面物体就被转换成了新直角坐标系中的规则长方体，导热系数由?变成了各向异性的相当导热系数?*原直角坐标系所代表的空间称为物理空间，而新直i，角坐标系所代表的则称为计算空间，如图所示：

Z x1 x1 x x3 x2 y x1 计算空间 x2 物理空间

于是，该导热问题可先在计算空间中求解，由于它在计算空间中是规则区域，数值计算易于

进行，然后把计算空间中的计算结果传送到物理空间中去，两个空间中点的对应关系由曲线坐标的定义所规定。

在由物理空间向计算空间转换时，边界条件亦应作相应的转换而成为计算空间长方体的边界条件。

第一类边界条件：把给定温度赋给计算空间中相应的点即可。 对第二、第三类边界条件，相应的模式列于表中 类别 空间 第二类边界条件 第三类边界条件 物理空间 ???t?qn ?n?(t?tf)B???t ?nB B计算空间 ??*i?th1h2h3?qn ?xihih1h2h3?t?(t?tf)B???*ihi?xi

x2=const

z 把物理空间中的曲线坐标系当作计算空x qn 间中的直解坐标系，从而把物理空间中不规则n αy ,tf 形状的求解区域变换成计算空间中规则的长方x *a2?h1h3? *?2,tf 体（三维问题）或矩形（二维问题），这种做不

x3 仅适用于导热问题，也可用于对流换热问题，

hhh*q2?123qn?h1h3qn 于是，有限差分法的一个主要弱点—不易处理

x2 h2x?const不规则边界问题，可以说原则上已根本解决了。 x 1 现在的问题是，现成的曲线坐标系的数目

毕竟是有限的，而不规则形状的物体则是千变万化的，不可能满足上述变换的需要。要使上述变换思想付诸实现，必须发展一套方法，对于那些没有现成曲线坐标系可以利用的复杂形状，可以利用这套方法来建立一个与该物体相适应的坐标系，这就是适体坐标系的思想。

225-5 适体坐标系（Body-Fitted coordinates）

一、适体坐标系的基本概念

如上所述，最理想的坐标系是其各坐标轴与所计算物体的边界一一相符合的坐标系，称为适体坐标系，又称贴体坐标系，附体坐标系，无现成的坐标系可资利用时，希望通过计算来构造这样的坐标系，如图所示。

y η η2 D ξ1 A η1 η C ξ2 ξ B x η1 η2 Δη A ξ1 Δξ B ξ ξ2 C

x-y坐标系中的不规则区域ABCD，把其相交的两个边界作为曲线坐标系的两个轴，记为?,?，且：

（1）一条边界上，只能一个坐标单值地发生为化，另一个坐标保持为常数；

（2）在两条对应边界上，另一组曲线坐标的最大值与最小值对应相等，以便在计算平面上得出矩形区域。

问题：物理平面上，点（x，y）与计算平面上（?,?）的对应关系？求解结果的传送？

如果把?,?视为物理平面上的两个未知函数，那么上述确定?,?的问题就是物理平面上的一个边值问题，因此，从物理平面上来说，所谓要生成一个适体坐标系，实际上相当于要求解物理平面上的一个边值问题。

反之，首先把物理平面上的区域ABCD按已规定的边界上的?,?值，画成计算平面上的?,?坐标系中对应的矩形，然后以均匀网格离散化，于是问题变为：已知计算区域边界上各节点（?,?）相应的（?,?），问在计算区域内部任意一点（?,?）对应的（?,?）值是多少？这样，如把x、y视为计算平面的未知函数，则生成适体坐标系的问题即为计算平面中的一个边值问题。

从数值计算的观点，对生成的适体坐标系有以下几点要求：

（1）物理平面上的点与计算平面上的点一一对应，同一簇中的曲线不能相变，不同簇中的两曲线只能相交一次；

（2）在适体坐标系中，每一个节点应当是一系列曲线坐标轴的交点，而不是一群三角形元素的顶点或无序的点群，以便设计有效，经济的算法及程序，采用矩形网格即可；

（3）物理平面求解区域内网格疏密程度易于控制；

（4）在物理平面的适体坐标的边界上，网格线最好与边界线正交或接近正交，以便于边界条件的离散化。

二、生成适体坐标系的方法分类 大致可分为三类 1、复变函数法

利用复变函数的映射，可以把相当一批二维不规则区域变换成矩形区域，而且可以得出解极或部分解析的变换关系式。

r2 r1 y r θ x θ 2π λr=λr λB=Nr r1 r2 r η 1 λr=? λ=? η0 1 ξ

??(r?r1)/(r2?t1)

??0/2?

相应地：

x(??)

=[r1?(r2?r1)?]cos(2??)

y(?,?)

=[r1?(r2?r1)?]xin(2??)

η 2π λ 0 lnr1 lnr2 ξ 复变函数映射

W?lnz?ln(rei?)?lnr?i?

??i? ???lnr

????所以??2t?t1?2t?2?0 控制方程的变化：2?2?rr???r因为???，∴?2t/??2??2t/?y2

?t???2t??lnr，∴?t/?r???0?仍然是各向同性！

???r??2代入原控制方程，得

?2t?2t（条件r?0）?2?0?仍然是各向同性。 2???y可见，正交坐标系法与复变函数法并不相同！

2、代数变换法—利有一些代数关系式来进行区域变换，具体实施方法颇多，最简单的是边界规范化的方法。

3、解微分方程的方法—通过求解边值问题的微分方程建立物理平面与计算平面上各点间的对应关系。

对该边值问题的控制方程的类型，物理问题本身无任何限定，可以比较自由地按照对所生成网格的要求来选择控制方程。

三、计算平面上求解区域形状的选择

1、物理平面上的区域由四条两两相交曲线构成的单连通域→计算平面上取为正方形或矩形； 2、物理平面的L型区域：有两种选择

6 5 4 1 x 2 η 1 ξ 6 5 4 ① 3 2 ② 5 η 6 ξ 1 2 4 3 y 3

3、物理平面上的型区域：两种选择

特别注意：节点间一一对应关系不要受破坏，计算平面中求解节点方程时，对重迭线上的节点，每一个变量应有两套数组，以分别存放从左边和右边计算而得之值。