运动的描述作业习题及解答

赵近芳编大学物理学 Ch1. 运动的描述 作业习题参考答案

1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为：x=3t+5, y= (1) 以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；

(2) 求出t=1s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移； (3) 计算t＝0s 时刻到t＝4s时刻内的平均速度；

(4) 求出质点速度矢量表示式，计算t＝4s 时质点的速度； (5) 计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；

(6) 求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度。

(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．��

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t+3t-4. 式中t以 s计，x,y以m计． 2?12??解：（1）由已知，得质点位置矢量的表示式为： r?(3t?5)i?(t?3t?4)j(m)

2??????(2) 将t?1s,t?2s代入上式，即有：r1?8i?0.5j(m)，r2?11i?4j(m)

????? 则这1秒内质点的位移为： ?r?r2?r?3i?4.5j(m) 1???r4?17i?16j(m)

?????????rr4?r012i?20j???3i?5j(m?s?1) ∴ t＝0s到t＝4s时刻内的平均速度：v??t4?04????dr?3i?(t?3)j(m?s?1) (4) 质点速度矢量表示式为： v?dt????1则t＝4s 时质点的速度为： v4?3i?7j (m?s)

(3) ∵ r0?5i?4j(m),??????????1(5) ∵ v0?3i?3j(m?s),v4?3i?7j(m?s?1)

∴ t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度：

??????vv4?v04a????1j(m?s?2)

?t44???dv?1jm?s?2 (6) 质点加速度矢量的表示式： a?dt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。

2?21-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x，a的单位为m?s，x的单位为 m. 质点在

x＝0处，速度为10m?s?1,试求质点在任何坐标处的速度值．

dvdvdxdv??v， 分离变量： vdv?adx解： ∵ a? x?(2?62x)ddtdxdtdx123?1两边积分得：v?2x?2x?c， 由题知，x?0时，v0?10m?s, ∴ c?50

2∴ v?2x3?x?25(m?s?1)

?21-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3t m?s，开始运动时，x＝5 m ， v =0，

求该质点在t＝10s 时的速度和位置。 解： ∵ a?

dv?4?3t， 分离变量， 得：dv?(4?3t)dt， dt1

赵近芳编大学物理学 Ch1. 运动的描述 作业习题参考答案

两边积分，得：v?4t? 故： v?4t?32t?c1， 由题知，t?0,v0?0 , ∴ c1?0， 232t 2dx33?4t?t2， 分离变量，得： dx?(4t?t2)dt 又因为： v?dt22132两边积分，得： x?2t?t?c2， 由题知： t?0时,x0?5m , ∴ c2?5，

2132故： x?2t?t?5

2所以，该质点在t＝10s 时的速度和位置分别为：

31v10?4?10??102?190(m?s?1),x10?2?102??103?5?705(m)

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31-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，?式中以弧度计，t以秒计，求： (1) t＝2s 时，质点的切向和法向加速度；(2) 当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解： ??d?d??9t2,???18t dtdt

质点的法向加速度： an?R?2?1?(9?22)2?1296(m?s?2)

(1) t?2s时，质点的切向加速度： a??R??1?18?2?36(m?s?2)

(2) 当加速度方向与半径成45角时，有：tan45??οa??1 an3222即： R??R?， 亦即：(9t)?18t， 则解得：t =0 或 t?2 9则其角位置为： θ=2 或 ??2?3t?2?3?32?2.67(rad) 93其角位移为： ??????0?0, 或 ??????0???2?3t?3?

1-8 质点沿半径为R的圆周按s＝v0t?2?0.67(rad) 912bt的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧长，v0，b都是2常量，求：(1) t时刻质点的加速度； (2) t为何值时，加速度在数值上等于b．

dsdvv2(v0?bt)2?v0?bt， a????b,an??解：（1） v?，则 dtdtRRa?(v0?bt)4?Rb， 加速度与半径的夹角为： ??arctan?a?a??a?b?22an(v0?bt)R22n2(v0?bt)4(2) 由题意，当加速度a在数值上等于b时，应有：a?b?b?， 2R2(v0?bt)4即： b?b?R222?(v0?bt)4?0 ∴ t?2

v0 b

赵近芳编大学物理学 Ch1. 运动的描述 作业习题参考答案

s?2， 1-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为 β=0.2 rad·

求：t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度的大小．�� 解： 当t?2s时，???t?0.2?2?0.4(rad?s?1)，则

飞轮边缘上各点的速度为：v?R??0.4?0.4?0.16(m?s?1)

法向加速度为：an?R?2?0.4?(0.4)2?0.064（m?s切向加速度为：a??R??0.4?0.2?0.08 (m?s合加速度为：a??2?2），

)

2an?a?2?(0.064)2?(0.08)2?0.102(m?s?2)

1-13 一船以速率v1＝30km·h-1 沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v2＝40km·h-1 沿直线向北行驶，

问：在船上看小艇的速度为多少? 在艇上看船的速度又为多少?��

解：(1) 大船看小艇，则有v21?v2?v1，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)

???

题1-13图

由图可知 v21?v1?v2?50(km?h) 方向：北偏西 ??arctan22?1(2) 小艇看大船，则有v12?v1?v2，依题意作速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得

2v12?v12?v2?50(km?h?1)

???v13?arctan?36.87? v24方向：南偏东36.87

补充题：质点P在水平面内沿一半径为R=1m的圆轨道转动，转动的角速度ω与时间t的函数关系为： ω=kt2（k为常量），已知t=2s时，质点P的速度值为16m/s。

(1) 定出常量k的大小； (2) 求t=1s时，质点P的速度与加速度的大小。 解：(1) 由已知ω=kt2（k为常量），则质点的角加速度??od??2kt dt2 而 v?R??Rkt （需定出k）， 由题知：t=2s时，v=16m/s，即16?4k，

所以： k=4（s-3）

故任意时刻质点的速度： v=4t2 （SI） (2) 质点的切向加速度： at?R??8t（SI）， 质点的法相加速度： an?R?2?16t4（SI）， 则任意时刻质点的加速度：a?2at2?an?8t1?4t6

故，t=1s时，质点P的速度与加速度的大小分别为：

2

v?4（m/s）， a?81?4?85?17.89 （m/s）

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