河北衡水中学2018-2019学年上学期人教版高一期末模拟试题(三)含答案(必修1+必修2)含解析

?t?0?t?0????0????0??2+211??或，解得③;综合①②③可知t的取值范围为?t?1，?1???2?1???2??42t2t???F??1??0?F??1??0??F2?0??????F?2??0t??2或t?2?2 4考点：函数的零点.不等式的解法

【名师点睛】本题考查函数零点判定定理、对数不等式的解法，属中档题，解对数不等式要注意考虑对数函数定义域．分情况讨论时要注意分类标准，做到不重不漏. 20．（12分）将12cm长的细铁线截成三条长度分别为a、b、c的线段， （1）求以a、b、c为长、宽、高的长方体的体积的最大值；学！科网

（2）若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值。 【答案】（1）64；（2）

43． 3试题解析：解：（1）a?b?c?12，V?abc?(a?b?c3)?64； 3当且仅当a?b?c?4时，等号成立． 3分

（2）设正三角形的边长为l,m,n，则l?m?n?4

由柯西不等式(l?m?n)(1?1?1)?(l?m?n)?16 5分

2222222 第 9 页 共 9 页

∴这三个正三角形面积和S?当且仅当l?m?n?3231643 (l?m2?n2)???44334时，等号成立． 3∴这三个正三角形面积和的最小值为

43 7分 3考点：1、基本不等式；2、柯西不等式．

21．（12分）如图，已知在三棱锥P?ABC中，PA?AC，PC?BC，

M为PB的中点，D为AB的中点，且?AMB为正三角形.

（1）求证：MD∥平面PAC； （2）求证：平面PBC?平面PAC. 【答案】证明见解析． 【解析】

试题分析：（1）要证线面平行，就要证线线平行，由于M,D都是中点，则中位线定理易知

MD//PA，因此再由线面平行的判定定理可得；（2）要面面垂直，就是要证线面垂直，观

察题中垂直条件，由?AMB为正三角形得MD?AB，从而PA?AB，再由PA?AC，得PA?平面ABC，从而PA?BC，于是可证BC?平面PAC，由上可得面面垂直的结论．

试题解析：（1）∵M、D分别为PB、AB的中点，∴MD∥PA，∵MD?平面PAC，

PA?平面PAC，∴MD∥平面PAC.

（2）连接DC，∵?AMB为正三角形，D为AB的中点，

∴MD?AB，∴PA?AB，又PA?AC，

AB?AC?A，∴PA?平面ABC.

∵BC?平面ABC，∴PA?BC， ∵PC?BC，PC?PA?P， ∴BC?平面PAC， ∵BC?平面PBC， ∴平面PBC?平面PAC.

第 10 页 共 10 页

考点：线面平行的判定，面面垂直的判定． 【名师点睛】1．判断或证明线面平行的常用方法: （1）利用线面平行的定义(无公共点);

（2）利用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α); （3）利用面面平行的性质定理(α∥β,a?α?a∥β); (4)利用面面平行的性质(α∥β,a?α,a?β,a∥α?a∥β).

2.证明平面与平面垂直，（1）主要方法是判定定理,通过证明线面垂直来实现,从而把问题再转化成证明线线垂直加以解决；（2）线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是解决有关垂直证明题的指导思想,其中线线垂直是最基本的,在转化过程中起穿针引线的作用,线面垂直是纽带,可以把线线垂直与面面垂直联系起来.

22．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线

4x?3y?29?0相切．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设直线ax?y?5?0 (a?0)与圆相交于A,B两点，求实数a的取值范围； （Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P??2,4?，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由 【答案】（Ⅰ）?x?1??y2?25（Ⅱ）a?【解析】试题分析：

(Ⅰ)设出圆心坐标，利用点到直线的距离等于半径可得m?1，则圆的方程为

253（Ⅲ）存在实数a? 124?x?1??y2?25．

(Ⅱ)由题意得到关于实数a的不等式，求解不等式可得实数a的取值范围是a?(Ⅲ)由题意讨论可得存在实数a?试题解析：

（Ⅰ）设圆心为M?m,0?（m?Z）．由于圆与直线4x?3y?29?0相切，且半径为5，

25； 123满足题意. 4所以

4m?295?5，即4m?29?25．因为m为整数，故m?1．

第 11 页 共 11 页

故所求圆的方程为?x?1??y2?25．

2

第 12 页 共 12 页