2018--2019年4月杭州市重点高中2018--2019高考数学命题比赛参赛试题1

2019年4月杭州市重点高中2019高考数学命题比赛

数学（理科）卷1

本试卷分第I卷和第II卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

如果事件A, B互斥, 那么

棱柱的体积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A, B相互独立, 那么

V=Sh

其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高 棱锥的体积公式

P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

V=

13Sh

其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高 球的表面积公式

Pn(k)=Cnpk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n)

棱台的体积公式

V?13h(S1?S1S2?S2)

kS = 4πR2

球的体积公式

其中S1, S2分别表示棱台的上、下底面积, V=

43πR

3

h表示棱台的高 其中R表示球的半径

第I卷（共50分）

一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．

2（1）（原创）已知集合M?{x|3?2x?x?0}，N?{x|x?1}，则M?N?（ ） 开始 k?1 S?100 （A）(3,??) （B）[1,3) （C）(1,3) （D）(?1,??)

S?S?k （2）（原创）已知a?0且a?1，则logab?0是(a?1)(b?1)?0的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）（原创）若复数z?1?i(i是虚数单位)，则（ ）

22（A）2z?2z?1?0 （B）2z?2z?1?0

k?k?1 否 s?0？ 是 输出k?1 （C）z?2z?2?0 （D）z?2z?2?0

·1·

22结束 （第5题）

（4）（引用）在(x?13x)24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（ ）

（A）3项 （B）4项 （C）5项 （D）6项

（5）（原创）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ） （A）12 （B）13 （C）14 （D）15

?x??1?3,x?0,（6）（根据宁波市2019届高三上期末测试4题改编）函数f(x)??则该函数为（ ）

x??3?1,x?0 （A）单调递增函数，奇函数

（C）单调递减函数，奇函数 （B）单调递增函数，偶函数 （D）单调递减函数，偶函数

AB?AC?3，cos?ABC?（7（）根据2019浙江省高考参考试卷第7题改编）已知?ABC中，

2．若3圆O的圆心在边BC上，且与AB和AC所在的直线都相切，则圆O的半径为（ ） （A）

352523 （B） （C）3 （D） 233（8）（引用）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2a的等腰

三角形俯视图是半径为a的半圆，则该几何体的表面积是（ ）

523222（A）?a?3a （B）?a?3a

22（C）3?a?3a （D）?a2?22正视图侧视图5232a 4俯视图（第8题）

x2y2（9）（根据2019萧山中学3月月考10题改编）已知点F(?c,0)(c?0)是双曲线2?2?1的左

ab焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x?y?c交于点P，且点P在抛物线

222y2?4cx上，则该双曲线的离心率是（ ）

（A）

3?55?11?5 （B）5 （C） （D） 222（10）（根据2019届杭州一模17题改编）如图，在扇形OAB中，?AOB?60?，C为弧AB上且

与A,B不重合的一个动点，OC?xOA?yOB，若u?x??y,(??0)存在最大值，则?的．．．取值范围为（ ）

111（A）(,1) （B）(1,3) （C）(,2) （D）(,3)

232·2·

A C OB第II 卷(共100分)

二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．

?x?y?0,?（11）（引用）在平面直角坐标系中，不等式组?x?y?4?0,(a为常数)表示的平面区域的面积是9，

?x?a,?那么实数a 的值为_______▲_____．

（12）（引用）记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?2(an?1)，则a2?_______▲______． （13）（原创）将7人分成3组，要求每组至多3人，则不同的分组方法种数是__▲____． （14）（原创）已知A为直线l:x?y?2上一动点，若在O:x2?y2?1上存在一点B使

?OAB?30?成立，则点A的横坐标取值范围为_____▲____．

??（15）（原创）函数y?cos(2x??),??(0,2?)，在区间(?,)上单调递增，则实数?的取值范

66围是_____▲____．

（16）（根据09年全国数学联赛题改编）若方程围是___▲___．

（17）（根据2019浙江六校联盟10题改编）棱长为2的正四面体ABCD在空间直角坐标系中移动，

但保持点A,B分别在x轴、y轴上移动，则原点O到直线CD的最近距离为____▲____ 三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．

（18）（根据北京市东城区08届模拟考改编）（本小题满分14分）在?ABC中，角A,B,C的对边分

别为a,b,c，且bcosC?4acosB?ccosB． （I）求cosB的值；

（II）若BA?BC?2，且b?23，求a和c的值．

（19）（原创）（本小题满分14分）袋中有大小相同的10个编号为1、2、3的球，1号球有1个，2号球有m个，3号球有n个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸

出一个2号球的概率是． （Ⅰ）求m、n的值；

（Ⅱ）从袋中任意摸出2个球，记得到小球的编号数之和为?，求随机变量?的分布列和数学期望E?．

·3·

lnkx?ln(x?1)没有实数根，那么实数k的取值范213（20）（引用）（本小题满分14分）如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面A1ACC1?底面ABC，?A1AC?60?．

（Ⅰ）求侧棱AA1C所成角的正弦值的大小； 1与平面AB（Ⅱ）已知点D满足BD?BA?BC，在直线AA1C？若存1上是否存在点P，使DP//平面AB在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

（第20题） （21）（根据09年清华大学自主招生试题改编）（本小题满分15分）已知椭圆

x2y2C:2?2?1(a?b?0)的左顶点A(?2,0)，过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3．

ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点A的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，

求证：

AQ?AROP2为定值．

2x（22）（原创）（本小题满分14分）已知函数f(x)?(a?)e?x.（a?R）

12（Ⅰ）若f(x)在区间(??,0)上单调递增，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若在区间(0,??)上，函数f(x)的图象恒在曲线y?2ae下方，求a的取值范围．

·4·

x