2016届高考数学一轮复习 7.5椭圆（一）练习 理

第五节 椭 圆 (一)

基础回顾 一、椭圆的定义

平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，即点集M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a，2a＞|F1F2|}是椭圆．其中两定点F1，F2叫做焦点，定点间的距离叫做焦距(注意：2a＝|F1F2|时，点的轨迹为线段F1F2，2a<|F1F2|时，无轨迹)．

二、椭圆的标准方程

xyyx

焦点在x轴上：2＋2＝1(a>b>0)；焦点在y轴上：2＋2＝1(a>b>0)．

abab三、椭圆的标准方程、性质

标准方程 xy2＋2＝1(a>b>0) ab222

2

2

2

yx2＋2＝1(a>b>0) ab22图形 中心 焦点 顶点 轴长 离心率 范围 对称性 a，b，c的关系

|x|≤a，|y|≤b 22(0，0) F1(－c，0)，F2(c，0) (±a，0)，(0，±b) (0，0) F1(0，－c)，F2(0，c) (±b，0)，(0，±a) 长轴|A1A2|的长2a，短轴|B1B2|的长2b，|B2O|＝b，|OF2|＝c，|B2F2|＝a ce＝(0

基础自测

1．椭圆x＋4y＝1的离心率为(A) A.C.

33 B. 2422 D. 23

2

2

2

2

2

2

xy1322

解析：先将x＋4y＝1化为标准方程＋＝1，则a＝1，b＝，c＝a－b＝.

1122

4c3

所以离心率e＝＝.故选A.

a2

2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(A)

xyxy

A.＋＝1 B.＋＝1 8172819xyxy

C.＋＝1 D.＋＝1 81458136

1

解析：依题意知，2a＝18，∴a＝9，2c＝×2a，∴c＝3，

3∴b＝a－c＝81－9＝72， xy

∴椭圆方程为＋＝1.故选A.

8172

xy

3．(2013·扬州模拟)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，

169B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为6．

解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.

4．椭圆3x＋ky＝3的一个焦点是(0，2)，则k＝1．

2y322222

解析：方程3x＋ky＝3可化为x＋＝1，a＝>1＝b，

3kk3222

c＝a－b＝－1＝2，解得k＝1.

k

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

品味高考

2

xy

1．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F

ab的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(D)

xyxy

A.＋＝1 B.＋＝1 45363627xyxy

C.＋＝1 D.＋＝1 2718189

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， 22x1y1

2＋2＝1， ①ab

22

x2y2

2＋2＝1， ②ab

2

2

2

2

2

2

2

2

22

?????

（x1＋x2）（x1－x2）（y1＋y2）（y1－y2）①－②得＋＝0， 22

ab

y1－y2b（x1＋x2）b0＋11b1222

所以kAB＝＝－2＝2，又kAB＝＝，2＝，又9＝c＝a－b，解得

x1－x2a（y1＋y2）a3－12a2xy

b＝9，a＝18，所以椭圆方程为＋＝1，故选D.

189

2

2

2

2

2

2

2

2．如图所示，设P是圆x＋y＝25上的动点，点D是P 在x轴上的投4

影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.

5

(1)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； 4

(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.

5

解析： (1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xP，yP)，

xP＝x，?22?5?2xy?2

由已知得?5∵点P在圆上，∴x＋?4y?＝25，即轨迹C的方程为＋＝1.

2516??y＝y.P

?4?44

(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，

554x（x－3）2

B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x－3x－8＝0.

525253－413＋41

∴x1＝，x2＝.

22

∴线段AB的长度为|AB|＝4141×41＝. 255

高考测验

xy

1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，

25164)，则|PM|＋|PF1|的最大值为15．

2

2

2

2

22

（x1－x2）＋（y1－y2）＝

22?1＋16?（x－x）2＝?25?12??

3

解析：|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|.

易知点M在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于点P，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋（6－3）＋4＝15.

22xy

2．设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点F(3，0)，长轴长为4.

ab

2

2

(1)求C的方程；

222

(2)点P是圆x＋y＝b上第一象限内的任意一点，过P作圆的切线交椭圆C于Q(x1，y1)，R(x2，y2)(y1＞y2)两点．

①证明：|PQ|＋|FQ|＝2； ②求|QR|的最大值．

(1)解析：由题得a＝2，c＝3，b＝a－c＝1.

2x2

代入得＋y＝1.

4x12

(2)①证明：∵Q(x1，y1)在椭圆上，∴＋y1＝1，

4则|QF|＝（x1－3）＋y1＝|PQ|＝OQ－OP＝x1＋y1－1

x13

＝ x＋1－－1＝x1.

42

∴|PQ|＋|FQ|＝2.

②解析：方法一 由①同理得|PR|＋|FR|＝2， 则|QR|＋|QF|＋|FR|＝4.

又|QR|≤|QF|＋|FR|?2|QR|≤4?|QR|≤2. ∴当QR过点F时取最大值2.

方法二 设切线为y＝kx＋m，m>0，

|m|22

由题QR与圆相切得2＝1，m＝k＋1.

k＋1

?y＝kx＋m，

21

22

2

2

22

2

2

2

2

2

（2－

332

x1）＝2－x1. 22

?2

222

再由?x得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0. 2

＋y＝1??4

4