相似形解题思路

浅析相似形解题思路

相似图形是日常生活中常见的图形．数学中相似关系的研究，是现实生活和生产实际的需要．就是把它们抽象成为图形之间的相似关系，并研究相似形的定义、性质、判定和应用，使之上升为理论，反过来又为实践服务．在研究三角形的全等，即“形状相同，大小相等”的基础上，现要进一步研究两个平面图形的“形状相同，大小可以不一样”的图形的性质——相似．全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．学好相似形也为学习园的有关性质和三角函数知识作了必要的准备和重要工具．在平面几何中，相似形是承上启下的关键内容．

三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；

找另一角 两角对应相等，两三角形相似

已知一对等角 找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

己知两边对应成比例 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似

找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似

找另一角 两角对应相等，两三角形相似

己知一个直角

找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等 判定定理1

有等腰关系 找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3 相似形的传递性 若△1∽△△△2，△2∽3，则△1∽3

对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明．

可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系； 三点定形用相似，三点共线取平截； 平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和园幂．

例1 填空题：

1、在△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，若AC＝8CM，则DE＝ 4 CM ；

2、在△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，则△ADE与△ABC的周长比为 1：2 ； 3、如果两个相似三角形的面积比为9：4，那么它们的相似比为 3：2 ； 4、如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的面积比为 4：9 ；

5、在△ABC中，AB>AC，过AC上一点D作直线DE，交AB于E，使△ADE和△ABC相似，这样的直线可作 两 条． 6、在△ABC中，MN∥BC，∠C＝68 0，AM：MB＝1：2，则∠MNA＝ 68 0；AN：NC＝1：2 ； 例2 选择题：1、如图1，DE是△ABC的AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E，已知AD：DB＝2：3，则S△ADE：S四边形BCED＝ ( D )

A

A、2：3 B、4：9 C、4：5 D、4：21

D E 2、如图1，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，

则下列结论中正确的是：( B )

DE1DE1?ADE的周长1?ADE的面积1C A、? B、? C、? D、? B 图1 BC2BC3?ABC的周长2?ABC的面积3 3、如图1，DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，则△ADE的周长为( B )

A、1 B、1 C、2 D、3

3234 4、如图2，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：①

AEBFADABEFDE； ②；③；???ECFCBFBCABBC 1

CEEA④，其中正确比例式的个数有：( B ) ?CFBF A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

A D E

B F图2 C 5、如图3△ABC的两条高AD、BE交于H，图中与△AHE

相似的三角形(不包括△AHE)有( C ) A A A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

E 6、如图4在△ABC中，∠BAC＝90 0，AD⊥BC于D， H 若AB＝2，BC＝3，则DC的长是：( D )

B C 图4 D C D 8245B A、 B、 C、 D、 3 图

3333说明：三角形中位线平行第三边并等于第三边的一半；不但有位置关系且表示数量关系应注意运用．从平行关系得到三角形相似，从三角形相似得到面积比等于对应边的比的平方，从而得出正确的选择．

例3 如图5在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF⊥AB于F，交AC的延长线于H，交BE于G，求证：(1)FG / FA＝FB / FH (2)FD是FG与FH的比例中项． 分析：(1)由FG / FA＝FB / FH，横看三点定形应证△FGB∽△FAH

(2)由FD / FG＝FH / FD，横看竖看三点定形都无法证三角形相似．化比例式为等积式，再

应用(1)的结论可得：DF 2＝FG?FH＝FA?FB

A FADF 再转化为：， 横看竖看三点定形 ?DFFBE 要证△AFD∽△DFB即可．

F G 证明：(1)∵∠AFH＝∠BFG＝900，∠ABG＝∠AHF

C ∴△FGB∽△FAH FG / FA＝FB / FH B 图5 D (2)∵AD⊥BD，DF⊥AB ∴∠AFD＝∠DFB＝900

H

又∵∠BDF＋∠FDA＝900∠BDF＋∠DAF＝900 ∴∠BDF＝∠DAF ∴△BDF∽△DAF ∴BF / FD＝FD / FA DF 2＝FA×FB 由(1)得FG?FH＝FA?FB ∴DF 2＝FG?FH

说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似．找相似三角形用三点定形法(在比例式中，或横着找三点，或竖着找三点)，若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换．

例4 如图6，□ABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F，已知BE：EC＝3：1， S△FBE＝18，求：(1)BF：FD (2)S△FDA A D

解： 在□ABCD中，AD＝BC ，AD∥BC ∴BF?BE △FBE∽△FDA F FDAD ∵BE?3 ∴BE?BE?BE?3?3

EC?BEBCAD1?34EC1C 图6 E B SBE239)?()2? ∵BF：FD＝3：4 ∴?FBE?(

S?FDAAD416 又∵S△FBE＝18 ∴S△FDA＝32

说明：线段BF、FD三点共线应用平截比定理．由平行四边形得出两线段平行且相等，再由“平截比定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的平方，求出三角形的面积．

例5 如图7在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N．求：AN：AB的值；

A E 解：过D作AE∥BC交CN的延长线于E

N ∵∠E＝∠ECB，∠AME＝∠DMC，AM＝DM

M ∴ △EMA≌△CMD ∴AE＝DC＝BC/2 又∵AE∥BC ， ∴△CNB∽△ENA

B C D 2

∴

BNBC2AB3?? ∴? 即AN：AB＝1：3 ANAE1AN1说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡．当

已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡．

例6 如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE于G．求证：AG 2＝AF×FC

E D C 证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠D＝∠BCE＝∠ABC＝900 又DE＝EC ∴△ADE≌△BCE (SAS) ∴AE＝EB G F ∵FG∥AB ∴AG＝BF 又BE⊥AC ∴△ABF∽△BCF ∴BF2＝AF×FC

A B 则AG 2＝AF×FC

说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用“三点定形法”确定要证明的两个三角形相似．

例7 如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于点E，EC交AD于点F．(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．

A （1）证明：∵D是BC边的中点，DE⊥BC ∴△BEC是等腰三角形，∠B＝∠BCE E 又∵AD＝AC ∴∠ADC＝∠ACD

F ∴△ABC∽△FCD

（2）解：过A作AM⊥CD垂足为M

B M C D ∵△ABC∽△FCD 且BC＝2CD

SBC21)?4 又∵ ∴?ABC?(S△FCD＝5，BC＝10，S△ABC＝BC?AM ∴AM＝4

2S?FCDCD 又DM＝CM＝

DEBD218BD DE∥AM ∴DE＝ ?? ∴23AMBM3说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似．再

由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长．

例8 如图10过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E．过点D作DM∥FC交AB于点M．(1)若S△AEF：S四边形MDEF＝2：3，求AE：ED； C (2)求证：AE×FB＝2AF×ED

(1)解：∵DM∥FC ∴△AEF∽△ADM

SS?AEF2AE2??() ∴?AEF?S?ADMS?AEF?S四边形MDEF5AD2(5?2)AE10?2 ∴AE?2 ∴ ??D

E F 图10

AD5ED33A M B (2)证明：∵DM∥FC ∴AE：ED＝AF：FM 又∵CD＝DB ∴FM＝BF/2 ∴AE：ED＝AF：BF/2 即AE×FB＝2AF×ED

说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比．注意平截比定理的应用．

例9 己知如图11在正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时，△ADP与△QCP相似？ 分析：不难发现，△ADP与△QCP都应为直角三角形，要求BQ的值，应先求出使△ADP与△QCP相似的QC的值

解：在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝90 0 ∴△ADP与△QCP都为直角三角形 当Rt△ADP∽Rt△QCP 时，有

ADQCAD?CP QC＝＝AD＝1 ?DPDPCP

3

A D 即得点Q与点B重合，BQ＝0 当Rt△ADP∽Rt△PCQ 时，有

P

ADPCDP?CP13? QC＝?即得：BQ＝

4DPQCAD4B C 3Q 图11 ∴当BQ＝0或BQ＝时，△ADP与△QCP相似．

4说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系．然后再确定顶点P所在的位置．本题是开放性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解．

例10 己知如图12在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝900，AB＝7，AD＝2，BC＝3．试在边AB上确定点P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似． 解：由题意得：△APD∽△BPC或△APD∽△BCP

A D APAD ∴? AB＝7，AD＝2，BC＝3

BPBCP1

解得：AP＝

∴

14 5P2 P3 B

图12

APAD ，解得：AP＝1或AP＝6 ?BCBP14 即当AP的长为1或或6时，以P、A、D为顶点的三角形

5C

与以P、B、C为顶点的三角形相似．

说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系．然后再确定顶点P所在的位置．本题有多个位置，应注意计算，严防漏解．

4