2017年甘肃省白银市中考数学试卷（含答案解析版）

28．（10分）（2017?白银）如图，已知二次函数y=ax+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A． （1）求二次函数y=ax+bx+4的表达式；

（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；

（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系． 【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

2

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（2）可设N（n，0），则可用n表示出△ABN的面积，由NM∥AC，可求得，则可用n表

示出△AMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；

（3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM=AB，在Rt△AOB和Rt△AOC中，可分别求得AB和AC的长，可求得AB与AC的关系，从而可得到OM和AC的数量关系． 【解答】解：

（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax+bx+4可得

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，解得，

∴二次函数的表达式为y=﹣x+x+4；

（2）设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8）， 则BN=n+2，CN=8﹣n． ∵B（﹣2，0），C（8，0）， ∴BC=10，

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在y=﹣x+x+4中令x=0，可解得y=4， ∴点A（0，4），OA=4，

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∴S△ABN=BN?OA=（n+2）×4=2（n+2）， ∵MN∥AC，

∴，

∴==，

∴，

∵﹣＜0，

∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大； （3）当N（3，0）时，N为BC边中点， ∵MN∥AC， ∴M为AB边中点，

∴OM=AB，

∵AB===2，AC===4，

∴AB=AC，

∴OM=AC．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识．在（1）中注意待定系数法的

应用，在（2）中找到△AMN和△ABN的面积之间的关系是解题的关键，在（3）中确定出AB为OM和AC的中间“桥梁”是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．