高考数学（文）5年真题精选与模拟 专题03 导数与函数 - 图文

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?当x?1时， h(x)?0，而h(1)?0

1h(x)?02x?(0,1)时h(x)?0,当x?(1,??),时h(x)?01-x故，当得：

f(x)?lnxlnx?0,f(x)?x?1x?1 即

从而，当x?0时，

35.(2011年高考江苏卷17)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？

2（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比

3值. P

【解析】（1）由题意知, 包装盒的底面边长为2x,高为2(30?x),所以包装盒侧面积为

DCAxEFxBS=42x?2(30?x)=

8x(30?x)?8?(x?30?x2)?8?2252,当且仅当x?30?x,即x?15时,等号成

2立,所以若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，x应15cm. （2）包装盒容积V=2x?22(30?x)=?22x3?602x2,(0?x?30)

2'''所以V??62x?1202x=?62x(x?20),令V?0得0?x?20; 令V?0得20?x?30,

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所以当x?20时, 包装盒容积V取得最大值,此时的底面边长为202cm,高为102cm,包装盒的高与底

1面边长的比值为2.

32f(x)?x?ax,g(x)?x?bx, f?(x)和g?(x)是36.(2011年高考江苏卷19)已知a，b是实数，函数

f(x),g(x)的导函数，若f?(x)g?(x)?0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致

（1）设a?0，若函数f(x)和g(x)在区间[?1,??)上单调性一致,求实数b的取值范围；

（2）设a?0,且a?b，若函数f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值 解析：(1)考察单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，中档题；（2）综合考察分类讨论、线性规划、解二次不等式、二次函数、含参不等式恒成立问题、导数及其应用、化归及数形结合的思想，难题。

（1）因为函数f(x)和g(x)在区间[?1,??)上单调性一致，所以，?x?[?1,??),f(x)g(x)?0,即

''?x?[?1,??),（3x2+a）(2x+b)?0,?a?0,??x?[?1,??),2x+b?0,

即?a?0,??x?[?1,??),b??2x,?b?2;

（2）当b?a时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（b,a）上单调性一致，所以，

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综上可知，

a?bmax?13。

37.(2011年高考安徽卷文科18)（本小题满分13分）

exf(x)?1?ax2，其中a为正实数 设

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（Ⅰ）当a?43时，求f(x)的极值点；

（Ⅱ）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围。

【解析】极值点的判定一定要结合该点两侧导数的符号，不可盲目下结论。同时还要注意“极值”与“极值点”的区别避免画蛇添足做无用功。

某区间（a,b）上连续可导函数单调性与函数导数符号之间的关系为：

''f(x)?0ff(x)若函数在区间（a,b）上单调递增（递减），则（(x)?0）

''f(x)?0ff(x)若函数的导数（(x)?0），则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增（递减）

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