高考数学（文）5年真题精选与模拟 专题03 导数与函数 - 图文

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解析：(1) x?(?2,2)；

2233(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有ab?ab?2abab，a?b?2abab，

22332|ab?ab?2abab|?|a?b?2abab|??(a?b)(a?b)?0， 因为

2233所以|ab?ab?2abab|?|a?b?2abab|，即a2b?ab2比a3?b3接近2abab；

(3)

?1?sinx,x?(2k???,2k?)f(x)???1?|sinx|,x?k??1?sinx,x?(2k?,2k???),k?Z，

f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T??，函数f(x)的最小值为0， 函数f(x)在区间

[k???2,k?)单调递增，在区间

(k?,k???]2单调递减，k?Z．

26.（2010陕西文数）21、(本小题满分14分) 已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a?R。

（1） 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程； （2） 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值?（a）的解析式； （3） 对（2）中的?（a），证明：当a?（0，+?）时， ?（a）?1.

a解 （1）f’(x)=2x,g’(x)=x(x>0),

由已知得 1x=alnx，

ae2x=x， 解德a=2,x=e2,

12e,

1?两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f’(e2)=

?切线的方程为y-e=

（2）由条件知

12e(x- e2).

Ⅰ 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=4a,

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'所以当0 < x< 4a时 h (x)<0，h(x)在（0，4a）上递减；

22当x>4a时，h (x)>0，h(x)在（0，4a）上递增。

所以x>4a是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。 所以Φ （a）=h(4a)= 2a-aln4a=2

Ⅱ当a ≤ 0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o) （3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a)

则 Φ 1（a ）=-2ln2a，令Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2

当 00，所以Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增 当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。 所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1

因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值 所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a）≤ 1 27.（2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分）

2f(x)?(a?1)lnx?ax?1. 已知函数

2222'2（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性； （Ⅱ）设a??2，证明：对任意

x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.

a?12ax2?a?1f?(x)??2ax?xx解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+?)，.

?当a≥0时，f(x)＞0，故f(x)在(0,+?)单调增加； ?当a≤－1时，f(x)＜0, 故f(x)在(0,+?)单调减少；

?当－1＜a＜0时，令f(x)＝0,解得x=?a?12a.当x∈(0,

??a?12a)时, f?(x)＞0；

?x∈(a?12a，+?)时，f?(x)＜0, 故f(x)在（0, a?1a?1?2a）单调增加，在（2a，+?）单调减少.

(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+?）单调减少. 所以

f(x1)?f(x2)?4x1?x2等价于

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f(x1)?f(x2)≥4x－4x,

1

2

即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令g(x)=f(x)+4x,则

g?(x)?a?1?2axx+4

2ax2?4x?a?1x＝.

?4x2?4x?1?(2x?1)2?xx于是g(x)≤＝≤0.

从而g(x)在（0，+?）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)， 即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+?) ，28.（2010全国卷2文数）（21）（本小题满分12分） 已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。 （Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；

（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。

32f(x1)?f(x2)?4x1?x2.

29.

（2010安徽文数）20.（本小题满分12分）

设函数

f?x??sinx?cosx?x?10?x?，

?2，求函数f?x?的单调区间与极值。

求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极

【解析】（1）对函数

f?x??sinx?cosx?x?1值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.

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解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0

?

因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，?）与（3?，2?），23?3?3?单调递增区间是（?，），极小值为f()=，极大值为f(?)=??2222

30.（2010北京文数）（20）（本小题共13分） 已知集合

Sn?{X|X?(x1,x2,…，xn),x1?{0,1},i?1,2,…,n}(n?2)对于A?(a1,a2,…an,)，

B?(b1,b2,…bn,)?Sn，定义A与B的差为 A?B?(|a1?b1|,|a2?b2|,…|an?bn|);

A与B之间的距离为

d(A,B)??|a1?b1|i?1

（Ⅰ）当n=5时，设A?(0,1,0,0,1),B?(1,1,1,0,0)，求A?B，d(A,B)； （Ⅱ）证明：(Ⅲ) 证明：（Ⅰ）解：

?A,B,C?Sn,有A?B?Sn，且d(A?C,B?C)?d(A,B);

?A,B,C?Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数

A?B?(0?1,1?1,0?1,0?0,1?0)=（1,0,1,0,1） =3

d(A,B)?0?1?1?1?0?1?0?0?1?0(Ⅱ)证明：设

A?(a1,a2,???,an),B?(b1,b2,???,bn),C?(c1,c2,???,cn)?Sna1,b1?{0,1}，所以

因为从而

a1?b1?{0,1}(i?1,2,???,n)

A?B?(a1?b1,a2?b2,???an?bn)?Snai,bi,ci?{0,1}(i?1,2,???,n)

由题意知

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