2018届高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第六节直接证明与间接证明学案文

第六节 直接证明与间接证明

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．

2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．

知识点一 直接证明 1．综合法

(1)定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论______，这种证明方法叫做综合法．

(2)框图表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q

(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)． 2．分析法

(1)定义：从____________出发，逐步寻求使它成立的____

，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．

(2)框图表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→得到一个明显成立的条件.

答案

1．(1)推理论证 成立 2.(1)要证明的结论 充分条件

1．判断正误

(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )

(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )

(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过

- 1 -

程．( )

(4)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√

2．要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( ) A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．归纳法 答案：B

3．已知点An(n，an)为函数y＝x＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．

解析：由题意知，an＝n＋1，bn＝n，∴cn＝n＋1－n＝增大而减小，∴cn>cn＋1.

答案：cn>cn＋1 知识点二 间接证明

反证法：假设原命题________，经过正确的推理，最后得出______，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

答案

不成立 矛盾

2

2

*

2

1

n2＋1＋n.显然，cn随着n的

4．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是( )

A．a，b都不能被5整除 B．a，b都能被5整除 C．a，b中有一个不能被5整除 D．a，b中有一个能被5整除

解析：对原命题的结论的否定叙述是：a，b都不能被5整除．

- 2 -

答案：A

热点一 分析法的应用 【例1】 已知a>0，证明 【证明】 要证 只需证 1

1

1

1

a2＋2－2≥a＋－2.

aa1

a2＋2－2≥a＋－2.

aaa2＋2≥?a＋?－(2－2)．

a?a?

?

1??1?因为a>0，所以?a＋?－(2－2)>0，

?

a?

所以只需证?

???

1?2??1??2

a＋2?≥??a＋a?－?2－2??，

2

a?

????

1?1?即2(2－2)?a＋?≥8－42，只需证a＋≥2.

a?

a11

因为a>0，a＋≥2显然成立(当且仅当a＝＝1时等号成立)，所以要证的不等式成立.

aa【总结反思】 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键． (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.

a＋mb?2a＋mb?已知m>0，a，b∈R，求证：??≤1＋m. ?1＋m?

证明：∵m>0，∴1＋m>0.

所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)≤(1＋m)·(a＋mb)，即证m(a－2ab＋b)≥0，即证(a－b)≥0，而(a－b)≥0显然成立，故原不等式得证．

热点二 综合法的应用

1213

【例2】 已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x＋x，函数y＝f(x)与函数y＝

23

2

2

2

2

2

2

2

22

g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．

(1)求a，b；

- 3 -

(2)证明：f(x)≤g(x)． 【解】 (1)f′(x)＝得a＝0，b＝1.

(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x) 1312

＝ln(x＋1)－x＋x－x(x>－1)．

321－x2

h′(x)＝－x＋x－1＝. x＋1x＋1

3

??g?0?＝f?0?，12

，g′(x)＝b－x＋x，由题意得?1＋x??f′?0?＝g′?0?，

解

h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x).

【总结反思】 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性.

设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和．记bn＝*

2

*

nSnn2＋c，n∈

N，其中c为实数．若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝nSk(k，n∈N)．

证明：由题意得，

n?n－1?

Sn＝na＋d.

2

由c＝0，得bn＝＝a＋Snnn－1

d.

2

?d?2?3?22

又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b2＝b1b4，即?a＋?＝a?a＋d?，化简得d－2ad＝0.

?2??2?

因为d≠0，所以d＝2a.

因此，对于所有的m∈N，有Sm＝ma. 从而对于所有的k，n∈N， 有Snk＝(nk)a＝nka＝nSk. 热点三 反证法的应用 考向1 证明否定性命题

【例3】 设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列；

2

22

2**

2

- 4 -