多面体欧拉定理的发现 (1)2

从正多面体的定义考虑.

同学们翻开课本P65欧拉公式和正多面体的种类，仔细阅读，体会其中的证明思路与方法.

（学生自学，教师查看，解决学生疑难问题） 巩固训练

1、C70分子是与C60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C70分子中五边形和六边形的个数.

答案：设有x个五边形和y个六边形 ∴F=x+y,∵E=70?3=105

2∵V=70,E=1（5x+6y）

2∵

解之得x=12,y=25

①

②

?70?x?y?105?2? ?1(5x?6y)?105??2答：C70分子中五边形为12个，六边形为25个.

2、设一个凸多面体有V个顶点，求证它的各面多边形的内角总和为（V－2）· 360°.

证明：设这一凸多面体的各面分别为n1,n2,?,nF边形，则各面

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多边形内角和是

（n1－2）·180°+（n2－2）·180°+?+（nF－2）·180°=（n1+n2+?+nF）·180°－2F·180°=（n1+n2+?+nF－2F）·180°

∵n1+n2+?+nF=2E， ∴原式=（E－F）·360° ∵V+F－E=2，∴E－F=V－2，∴原式=（V－2）·360° 3、简单多面体每个面都是五边形，且每个顶点处有3条棱，求这个简单多面体的面数、棱数、顶点数.

解：设面数为F，顶点数为V，棱数为E. ∵每个面上有5条边，每两边合为一条棱 ∴E=5F，

2又∵每个顶点处有3条棱，每2个顶点间只有1条棱. ∴E=3V，V=5F.

23又由欧拉公式V+F－E=2得

5F+F－5F32=2

∴F=12，V=20，E=30. 阅读材料：

欧拉瑞士著名的数学家，科学巨人，师从数学家约翰·伯努利，有惊人的记忆力，是数学史上的最多产的数学家，他所写的著作达865部（篇），28岁右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，

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圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。种种磨难，并没有把欧拉搞垮。大火以后他立即投入到新的创作之中。资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。他总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上，欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至在他死后，他留下的许多手稿还丰富了后47年的圣彼得堡科学院学报。

数学方面：他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支.比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f（x）表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式

、欧拉方程、欧拉常数

、欧拉方法、欧拉猜想等.其中欧

拉公式的一个特殊公式

,将数学上的5个常数0、1、i、e、

π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V－E+F=2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目

物理方面：他创立了分析力学、刚体力学，研究和发展了弹性理论、振动理论以及材料力学，在光学上也有杰出的贡献，古典力

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学的基础是牛顿奠定的，而欧拉则是其主要建筑师，他研究了天文学，并与达朗贝尔、拉格朗日一起成为天体力学的创立者，流体力学的创始人。

其它方面：欧拉在搞科学研究的同时，还把数学应用到实际之中，为俄国政府解决了很多科学难题，为社会作出了重要的贡献。如菲诺运河的改造方案，宫延排水设施的设计审定，为学校编写教材，帮助政府测绘地图；在度量衡委员会工作时，参加研究了各种衡器的准确度。另外，他还为科学院机关刊物写评论并长期主持委员会工作。他不但为科学院做大量工作，而且挤出时间在大学里讲课，作公开演讲，编写科普文章，为气象部门提供天文数据，协助建筑单位进行设计结构的力学分析，他把自己所建立的理想流体运动的基本方程用于人体血液的流动，从而在生物学上添上了他的贡献，又以流体力学、潮汐理论为基础，丰富和发展了船舶设计制造及航海理论。

今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，展开热烈的讨论互相进行数学交流.

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