多面体欧拉定理的发现(1)2

多面体欧拉定理的发现

我们知道，平面多边形由它的边围成，它的顶点数与边数相等，按边数可以对多边形进行分类，同类的多边形具有某些相同的性质。

多面体是由它的面围成立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱相交形成顶点。在研究多面体的分类等问题中，人们逐步发现它的顶点数，面数和棱数之间有特定的关系。以下我们将体验这种关系的发现及证明过程。

探索研究

问题1：下列共有五个正多面体，分别数出它们的顶点数V、

面数F和棱数E，并填表1

正多面体 顶点数面数棱数V 正四面体 4 正六面体 8 正八面体 6 F 4 6 8 E 6 12 12 1

正十二面.20 体 正二十面12 体 12 30 20 30 观察表中填出的数据，请找出顶点数V、面数F及棱数E之间的规律。

教师巡视指导，如正十二面体，先定面数E＝12；再定棱数，每个面有5条棱，共有12×5＝60条，由于每条棱都是两个面的公共边，所以上面的计算每条棱被算过两次，于是棱数E＝60/2＝30；最后算顶点数，每个顶点处连有三条棱，所以它共有3V条棱，又因为每条棱连着两个顶点，所以上面的计算每条棱被算过两次，因此实际上只有3V/2条棱，即E＝3V/2，所以V＝20。

表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？（不一定）.

请举例说明.（如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6）.

此时棱的数目呢？（棱数都是一样的）.

所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大. 大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言.

2

（当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律）.

上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系.

（积极验证，得出） V+F－E=2

以上同学们得到的V+F－E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证.

（许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等.

（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）

一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等.

好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？

所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数V为

3

2+n个，因2n+（2+n）－3n=2,故满足V+F－E=2这个关系式.

请继续来观察下面的图形，填表2，并验证得出的公式工V＋F－E＝2

_ S _ A

_ B_ E_ O_ C_ D

正多面体 顶点数 面 数 五棱锥 四棱柱 五棱柱 四棱锥 六棱锥 棱 数 4