最新北师大版高中数学必修二测试题全套含答案解析

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【解析】 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的1

的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝2

组合体，球×4πr2

＋

πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.

【答案】 B

11.如图7，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

图7

①BD⊥AC；

②△BCA是等边三角形； ③三棱锥D-ABC是正三棱锥； ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正确的是( ) A.①②④ C.②③④

B.①②③ D.①③④

【解析】 由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错.故选B.

【答案】 B

12.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )

2

A.6 2C.3

3B.6 2D.2

【解析】 由于三棱锥S-ABC与三棱锥O-ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S-ABC的高是三棱锥O-ABC高的2倍，所以三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥O-ABC体积的2倍.

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在三棱锥O-ABC中，其棱长都是1，如图所示， 33

S△ABC＝4×AB2＝4， 高OD＝

6?3?

12－??＝3，

?3?

2

1362

∴VS-＝2V＝2×××＝ABCO-ABC

3436. 【答案】 A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13.设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.

ASCS

【解析】 由面面平行的性质得AC∥BD，BS＝SD，解得SD＝9. 【答案】 9

14.如图8所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是________.

图8

【解析】 连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a， 则B′D＝DC＝a，B′C＝AC＝2a， 所以∠B′DC＝90°. 【答案】 90°

6

15.若一个底面边长为2，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________.

【解析】 球的直径等于正六棱柱的体对角线的长.设球的半径为R， 由已知，可得2R＝

?6?

?×2?＋(6)2＝23，R＝3. ?2?

2

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44π

所以球的体积为3πR3＝3×(3)3＝43π. 【答案】 43π

16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则异面直线AB与CD所成的角等于________.

【解析】 如图所示，分别取BC，AC的中点G、F， 连接EG，GF，EF， 则EG∥CD，GF∥AB，

∴∠EGF就是AB与CD所成的角. a

由题意EG＝GF＝EF＝2，

∴△EFG是等边三角形，∴∠EGF＝60°. 【答案】 60°

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)如图9所示，四棱锥V-ABCD的底面为边长等于2 cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC＝4 cm，求这个正四棱锥的体积.

图9

【解】 连接AC，BD相交于点O，连接VO， ∵AB＝BC＝2 cm， 在正方形ABCD中， 求得CO＝2 cm， 又在直角三角形VOC中， 求得VO＝14 cm， 1

∴VV－ABCD＝3SABCD·VO 14

＝3×4×14＝314(cm3). 4

故这个正四棱锥的体积为314cm3.

18.(本小题满分12分)如图10所示，P是?ABCD所在平面外一点，E，F分别在PA，BD

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上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平面PBC.

图10

【证明】 连接AF延长交BC于G，连接PG. 在?ABCD中， 易证△BFG∽△DFA， GFBFPE∴FA＝FD＝EA， ∴EF∥PG.

/平面PBC，PG平面PBC， 而EF?

∴EF∥平面PBC.

19.(本小题满分12分)如图11，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

图11

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【解】 (1)交线围成的正方形EHGF，如图：

(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8. 因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10. 于是MH＝EH2－EM2＝6，AH＝10，HB＝6. 1

故S四边形A1EHA＝2×(4＋10)×8＝56，