当前位置：首页 > 大学物理电子教案之第7章稳恒磁场 - 图文
（2）通过aefd面的磁通量为
Φm??B?dS=?BdScosα?BSabcdS = 2T?0.4m×0.3m = 0.24Wb
（3）对整个闭合面而言，面上各点的正法线指向规定向外为正， 磁感线从abcd面穿入，则通过abcd面的磁通量为负，
Φm1??B?dS=?BdScosπ??BSabcdS = ?2T?0.4m×0.3m =?0.24Wb
而通过aefd面的磁通量是穿出的，磁通量为正，由（2）得：Φm2= 0.24Wb 通过其他三个面的磁通量均为零。所以通过整个闭合面的磁通量为
Φm??B?dS = －0.24Wb＋0.24WbS
= 0例7-3 真空中一无限长直导线CD，通以电流I＝10.0A，若一矩形EFHG与CD共面，如图7-12所示。其中a = d =10.0cm，b＝20.0cm。求通过矩形EFGH面积S的磁通量。 解 由于无限长直线电流在面积S上各点所产生的磁感强度B的大小随r不同而不同，所以计算通过S面的磁通量B时要用积分。为了便于运算，可将矩形面积S划分成无限多与直导线CD平行的细长条面积元dS = bdr，设其中某一面积元dS与CD相距r，dS上各点B的大小视为相等，B的方向垂直纸面向里。取dS的方向(也就是矩形面积的法线方向)也垂直纸面向里，则
Φm??B?dS=?BdScos0o??BdSSSS ?? =a?dd0.1?0.1μ0IμIbbdr?0lnr0.12πr2πμ0Ibln22π ?2.77?10?7Wb
图7-12
7.4安培环路定理
静电场中的电场线不是闭合曲线，电场强度沿任意闭合路径的环流恒等于零，即
??lE?dl?0。这是静电场的一个重要特征。但是在磁场中，磁感应线都是环绕电流的闭合
曲线，因而可预见磁感强度的环流??B?dl不一定为零：如果积分路径是沿某一条磁感应线，
ldl都是大于零，所以 则在每一线段元上的B·
??lB?dl?0。这种环流可以不等于零的场叫
做涡旋场。磁场是一种涡旋场，这一性质决定了在磁场中不能引入类似电势的概念。
在真空中，各点磁感强度B的大小和方向与产生该磁场的电流分布有关。可以预见环流??B?dl的值也与场源电流的分布有关。下面的定理将给出它们之间十分简单的定量关
l系。
7.4.1 安培环路定理
为简单起见，下面从特例计算环流??B?dl的值，然后引入定理。
l设真空中有一长直载流导线，它所形成的磁场的磁感应线是一组以导线为轴线的同轴圆(图7-13)，即圆心在导线上，圆所在的平面与导线垂直。在垂直于长直载流导线的平面内，任取一条以载流导线为圆心半径为 r的圆形环路 l 作为积分的闭合路径。
图7-13 图7-14
?0I则在这圆周路径上的磁感强度的大小为B?，其方向与圆周相切。如果积分路径的绕行
2?r方向与该条磁感应线方向相同，也就是积分路径的绕行方向与包围的电流成右螺旋关系，则B与dl间的夹角处处为零，于是
??B?dl???l?0I?0I?0Icos00dl??dl??l2?r2?r2?r l2?r所以
??B?dl= μ0I (7-15a)
l上式说明磁感强度B的环流等于闭合路径所包围的电流与真空磁导率的乘积，而与积分路
径的圆半径r无关。
如果保持积分路径的绕行方向不变，而改变上述电流的方向，由于每个线元dl与B的夹角θ?π，则
B?dl?Bcosθdl??Bdl?0 所以β
??B?dl=－μ0I =μ0（－I） (7-15b)
l上式说明积分路径的绕行方向与所包围的电流方向成左旋关系，可认为对路径讲，该电流是
负值。
(7-15a)、(7-15b)两式虽从特例得出，但可证明(从略)：对于任意形状的载流导线以及任意形状的闭合路径，该两式仍成立。应指出，当电流未穿过以闭合路径为周界的任意曲面时，路径上各点的磁感强度虽不为零，但磁感强度沿该闭合路径的环流为零，即
??B?dl=0 (7-15c)
l，2??n)的载流导线穿过以闭合路径l为周界 在一般情况下，设有n根电流为Ii(i?1的任意曲面，m根电流为Ij(j?1利用(7-15a)、(7-15b)、，2??m)的载流导线未穿过该曲面，
(7-15c)并根据磁场的迭加原理，可得到该闭合路径的环流
??lB?dl??0?Ii
i?1n式中B是由Ii(i?1，2??n)、Ij(j?1，2??m)共（n+m）个电流共同产生的。由此总结出真空中的安培环路定理如下：
在稳恒磁场中，磁感强度B沿任何闭合路径的线积分 ，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和的μ0倍。其数学表达式为
??B?dll??0?Ii (7-16)
i?1它指出：在真空中磁感强度沿任意闭合路径的环流等于穿过以该闭合路径为周界的任意
曲面的各电流的代数和与真空磁导率μ0的乘积，而与未穿过该曲面的电流无关。应当指出：未穿过以闭合路径为周界的任意曲面的电流虽对磁感强度沿该闭合路径的环流无贡献，但这些电流对路径上各点磁感强度的贡献是不容忽视的。
在图7-14中，电流I1、I2穿过闭合路径l所包围的曲面，I1与l成右旋关系，I1取正值；I2与l成左旋关系，I2取负值。I3未穿过闭合路径l所包围的曲面，所以对B的环流无贡献。于是磁感强度B沿该闭合路径的环流为
??B?dl??(Il01?I2)
l安培环路定理反映了磁场的基本规律。和静电场的环路定理??E?dl?0相比较，稳恒磁场中B的环流??B?dl?0，说明稳恒磁场的性质和静电场不同，静电场是保守场，稳恒
l磁场是非保守场。
安培环路定理对于研究稳恒磁场有重要意义。下面只应用安培环路定理计算几种特殊分布的稳恒电流所产生的磁场的磁感强度。
7.4.2 安培环路定理的应用
安培环路定理是一个普遍定理，但要用它直接计算磁感强度，只限于电流分布具有某种对称性，即利用安培环路定理求磁场的前提条件是：如果在某个载流导体的稳恒磁场中，可以找到一条闭合环路 l ，该环路上的磁感强度B大小处处相等，B的方向和环路的绕行方向也处处同向，这样利用安培环路定理求磁感强度B的问题，就转化为求环路长度，以及求环路所包围的电流代数和的问题，即
??ldl所以，利用安培环路定理求磁场的适用范围是，在磁场中能否找到上述的环路。这取决于该磁场分布的对称性，而磁场分布的对称性又来源于电流分布的对称性。应用安培环路定理，计算一些具有一定对称性的电流分布的磁感应强度十分方便。计算时，首先用磁场叠加原理对载流体的磁场作对称性分析；然后根据磁场的对称性和特征，设法找到满足上述条件的积分路径（使Ｂ可提到积分号外）；最后利用定理公式求磁感强度。举例说明如下：
1.长直载流螺线管内的磁场
设螺线管长l，直径为Ｄ，且l?D；导线均匀密绕在管的圆柱面上，单位长度上的匝
l??B?dl?B??ldl??0?Ii ? B?i?1?0?Iii数为n；导线中的电流强度为Ｉ。
（a） （b）
图7-15
用磁场叠加原理作对称性分析：可将长直密绕载流螺线管看作由无穷多个共轴的载流圆环构成，其周围磁场是各匝圆电流所激发磁场的叠加结果。在长直载流螺线管的中部任选一点P，在P点两侧对称性地选择两匝圆电流，由圆电流的磁场分布可知，二者磁场叠加的结果，磁感强度B的方向与螺线管的轴线方向平行。如图7-15（a）所示。
由于且l?D，则长直螺线管可以看成无限长，因此在P点两侧可以找到无穷多匝对称的圆电流，它们在P点的磁场迭加结果与图7-15（a）相似。由于P点是任选的，因此可以推知长直载流螺线管内各点磁场的方向均沿轴线方向。磁场分布如图7-15（b）所示。
从图7-15可以看出，在管内的中央部分，磁场是均匀的，其方向与轴线平行，并可按右手螺旋法则判定其指向；而在管的中央部分外侧，磁场很微弱，可忽略不计，即 B = 0 。据此，选择如图7-15（b）所示的过管内任意场点P的一矩形闭合曲线abcda为积分路径l 。
dl）则环路ab段的dl方向与磁场B的方向一致，即（B，= 0°，故在ab段上，B?dl?Bdl；在环路cd段上，B = 0，则B?dl?0；在环路bc段和da段上，管内部分B与dl垂直，管
外部分B= 0，都有B?dl?0，因此，沿此闭合路径 l，磁感强度B的环流为：
??lB?dl??abB?dl??bcB?dl??cdB?dl??daB?dl=?abBdl=Bab
螺线管上每单位长度有n匝线圈，通过每匝的电流是I，则闭合路径所围绕的总电流为n·ab ·I，根据右手螺旋法则，其方向是正的。由安培环路定理Bab = μ0 nab I 故得 B = μ0 n I
螺线管为在实验上建立一已知的均匀磁场提供了一种方法，正如平行板电容器提供了建立均匀电场的方法一样。
2.环形载流螺线管（常称螺绕环）内外的磁场
均匀密绕在环形管上的圆形线圈叫做环形螺线管，设总匝数为N (图7-16a、b)。通有电流I时，由于线圈绕得很密，所以每一匝线圈相当于一个圆形电流。
下面根据对称性，分析环形螺线管的磁场分布。对于如图7-16（a）所示的均匀密绕螺绕环，由于整个电流的分布具有中心轴对称性，因而磁场的分布也应具有轴对称性，且不论在螺线管内还是螺线管外，磁场的分布都是轴对称。由于磁感应线总是闭合曲线，所以所有磁感应线只能是圆心在轴线上，并与环面平行的同轴圆。
将通有电流I的矩形螺绕环沿直径切开，其剖面图如图7-16（b）在环内作一个半径为r的环路l，绕行方向如图7-16（b）所示。环路上各点的磁感强度大小相等，方向由右手螺旋法可知，与环路绕行方向一致。磁感强度B沿此环路的环流为
??lB?dl???lBcos0?dl?B??ldl?B2πr
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