（统编版）2020高中数学第二章2.2.1向量加法运算及其几何意义问题导学案新人教A版必修

2.2.1 向量加法运算及其几何意义

问题导学

一、向量加法运算 活动与探究1

uuuruuur(1)化简：①BC＋AB；

ruuuruuuruuu②DB＋CD＋BC；

ruuuruuuuuruuuruuuur③AB＋DF＋CD＋BC＋FA．

(2)已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：

uuuruuur①OA＋OE； uuuruuur②AO＋AB； uuuruuur③AE＋AB．

迁移与应用 化简：

uuuruuuruuur(1)CD＋BC＋AB；

c，并求|a＋b＋c|．

uuuruuuruuur(2)四边形ABCD是边长为1的正方形，AB＝a，BC＝b，AC＝c，求作向量a＋b＋

解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0．

二、利用向量知识证明几何问题 活动与探究2

用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形． 迁移与应用

在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，分别取点F，E，使BE=DF(如图)，用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形．

1．用向量法证明几何问题的一般步骤： (1)要把几何问题中的边转化成相应的向量．

(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．

1

(3)还原成几何问题． 2．注意以下两个问题： (1)法则的灵活应用．

(2)要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且线段的长度相等．

三、向量加法的实际应用 活动与探究3

在四川汶川“5·12”大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．

迁移与应用

在长江某渡口上，江水以2 km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为23 km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．

向量应用题要首先画出图形．解决的步骤是：(1)将应用问题中的量抽象成向量；(2)化归为向量问题，进行向量运算；(3)将向量问题还原为实际问题．

当堂检测

uuuruuuruuur1．在四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，则( )

A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形 C．ABCD一定是正方形

D．ABCD一定是平行四边形

ruuuruuuuuuruuuruuuruuur2．AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝( )

A．0 B．0

uuuruuurC．2AD D．－2AD

3．下列等式不成立的是( )

A．0＋a＝a B．a＋b＝b＋a

ruuuruuuruuuruuuruuuruuuC．AB＋BA＝2BA D．AB＋BC＝AC

uuuruuuruuuuruuuruuur4．化简(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM＝__________．

5．若a＝“向北走8 km”，b＝“向东走8 km”，则|a＋b|＝__________；a＋b的方向是__________．

提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记． 答案：

课前预习导学

2

【预习导引】 1．两个向量和

uuur2．和 a＋b a＋b AC 三角形法则

3．平行四边形法则

4．b＋a (a＋b)＋c a＋(b＋c) 预习交流1 提示：a＋0＝a．

预习交流2 提示：不一定，当两向量共线时不能用平行四边形法则，只能用三角形法则．

课堂合作探究 【问题导学】

活动与探究1 思路分析：根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．

uuuruuuruuurruuuruuu解：(1)①BC＋AB＝AB＋BC＝AC；

ruuuruuuruuuruuuuuuruuuruuuruuur②DB＋CD＋BC＝BC＋CD＋DB＝BD＋DB＝0；

ruuuruuuuuruuuruuuur③AB＋DF＋CD＋BC＋FA

ruuuruuuuuuruuuruuur＝(AB＋BC)＋(CD＋DF)＋FA uuuruuuruuur＝AC＋CF＋FA uuuruuur＝AF＋FA＝0．

(2)①由题图知，OAFE为平行四边形，

uuuruuuruuur∴OA＋OE＝OF；

uuuruuurruuu②由题图知，OABC为平行四边形，∴AO＋AB＝AC；

③由题图知，AEDB为平行四边形，

uuuruuuruuur∴AE＋AB＝AD．

uuuruuuruuuruuurruuuruuu迁移与应用 解：(1)CD＋BC＋AB＝(AB＋BC)＋CD uuuruuuruuurACCD＝＋＝AD．

uuuruuur(2)如下图，延长AC到E，使AC=CE，则CE=AC，

ruuuruuuuuuruuur∴a+b+c=AB+BC+CE=AE，

uuur即AE为所求作的向量．

∵四边形ABCD是边长为1的正方形，

uuuruuuruuur∴|AC|=2，∴|AE|=2|AC|=22． 故|a+b+c|=22．

活动与探究2 思路分析：要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等．根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可．此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述．

ruuuruuuruuuruuuruuuruuu证明：根据向量加法的三角形法则有AB=AO+OB，DC=DO+OC．

3

uuuruuuruuuruuur又AO=OC，DO=OB， uuuruuuruuuruuurruuuruuu∴AO+OB=DO+OC．∴AB=DC．

∴AB∥DC且AB=DC， 即AB与DC平行且相等．

∴四边形ABCD是平行四边形．

rruuuuuuruuuruuuruuuruuu迁移与应用 证明：AE=AB+BE，FC=FD+DC，

ruuuuuuruuuruuur又AB=DC，BE=FD，

ruuuruuu∴AE=FC，即AE，FC平行且相等．

故四边形AECF是平行四边形． 是线段AC的长度．

uuuruuuruuurruuu活动与探究3 思路分析：利用向量加法的三角形法则，知AC＝AB＋BC，|AC|

ruuuruuuruuu解：如图所示，设AB，BC分别是直升飞机的两次位移，则AC表示两次位移的合位uuuruuurruuu移，即AC＝AB＋BC．

在Rt△ABD中，

uuuruuur|DB|＝20 km，|AD|＝203 km． uuuruuur2uuur2在Rt△ACD中，|AC|＝|AD|?|DC|＝403 km，∠CAD＝60°，即此时直升飞

机位于A地北偏东30°方向，且距离A地403 km处．

迁移与应用 解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2．

依题意作出平行四边形，如图．

uuur在Rt△ABC中，|BC|＝|v1|＝23，

4

uuur|AB|＝|v2|＝2，

uuuruuur2uuur2∴|AC|＝|v|＝|AB|?|BC| ＝2＋(23)＝4，

2

2

uuur|BC|23r＝tan θ＝uuu＝3．

2|AB|∴θ＝60°．

∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h，方向为东偏北60°． 【当堂检测】

uuuruuuruuur1．D 解析：由AC＝AB＋AD知由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形．

ruuuruuuuuuruuuruuuruuur2．B 解析：由向量加法的运算法则可知AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝0．

uuuruuuruuuruuur3．C 解析：对于C，∵AB与BA是相反向量，∴AB＋BA＝0． uuurruuuuruuuuuuruuuruuuruuuruuuuuuruuurr4．AC 解析：原式＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)＋BC＝AO＋OB＋BC＝ABuuuruuur＋BC＝AC．

5．82 km 东北方向 解析：由向量加法的平行四边形法则，知|a＋b|＝82，方向为东北方向．

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