高2020届数学能力提升训练（二）教师版

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高2020届数学能力提升训练（2） 如何灵活应用函数的四大性质

函数是整个高中数学的核心内容,是高中数学的主线,所有知识均可与函数建立联系,都可围绕这一主线展开学习考查,它贯穿于中学数学的始末,而函数的四大性质更是高考对函数内容考查的重中之重,其中单调性与奇偶性更是高考的必考内容,在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查,而且考查的形式不一,有选择题,填空题,也有解答题；有基础题，也有难度较大的试题..本文将从单调性、奇偶性、单调性与奇偶性和四大性质的综合应用四方面分别加以阐述.

一、函数单调性的灵活应用

函数单调性的定义：在定义域的一个子集I里,有两个任意自变量x1,x2 错误！未找到引用源。,当x1?x2 错误！未找到引用源。时,均有f?x1??f?x2? 错误！未找到引用源。,则f?x?在区间I内单调增.当x1?x2错误！未找到引用源。时,f?x1??f?x2?错误！未找到引用源。则f?x?在区间I内单调减.

f(x1)?f(x2)f(x1)?f(x2)?0?0时单调递减. 函数的单调性也可表示为：时单调递增；

x1?x2x1?x2判断方法：

①定义法（作差比较；步骤：1.取值 2,作差 3,定号 4,结论）； ②图象法；

③单调性的运算性质；

④复合函数单调判断法则； ⑤导数法；

复合函数的单调性：设y?f?g?x??是定义在M上的函数,若f?x?与g?x?的单调性相反,则

y?f?g?x??在M上是减函数；若f?x?与g?x?的单调性相同,则y?f?g?x??在M上是增函数,简称同增异减.

函数单调性的应用：比较大小；解不等式；求取值范围； 求二次函数最值；抽象函数单调性的判断.

【例1】如果对定义在R上的函数f(x),对任意两个不相等的实数x1,x2,都有

x1f(x1)?x2f(x2)?x1f(x2)?x2f(x1),则称函数f(x)为“H函数”.

??lnxx?0给出下列函数①y?e?x;②y?x;③y?lg(a?b)(a?1?b?0);④f(x)??.以上函

x?0??0x2xx数是“H函数”的所有序号为 .

【分析】本题的重点和难点均为对“H函数”本质的认识和理解,即如何处理和转化题中所给不等式：x1f(x1)?x2f(x2)?x1f(x2)?x2f(x1),采用合并重组的方法进行处

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理,得?x1?x2???f?x1??f?x2????0 ,由单调性定义的本质,可以看出“H函数”本质上就是个单调递增函数.

【解析】因为对任意两个不相等的实数x1,x2,都有x1f(x1)?x2f(x2)?x1f(x2)?x2f(x1),即总有不等式?x1?x2???f?x1??f?x2????0恒成立,即为函数f(x)是定义在R上的增函数,对于①,由于y?ex与y?x均为R上增函数,则函数

y?ex?x在R为增函数；对于②,明显先减后增,不符合；对于③,因为y'?3?cosx?0在R上恒成立,则y?3x?sinx在R为增函数；对于④,如图：

当x<0时为减函数,当x>0为增函数,不符合,故选①③.

【点评】本题主要考查了单调函数的定义和函数单调性的判断（定义法,图像法,导数法）,学生在初步理解时可能有一种无从入手的感觉,如果对函数单调性定义的本质不能领悟的话,则将无法完成此题了,可见在教师的教和学生的学中最终要让学生去理解和领悟知识的本质.

??3?a?x?3,x?7【训练1】已知函数f?x???x?6,若f(x)是递增函数,则实数a的取值范围是（ ）

?a,x?7?9??9?A．?,3? B．?,3? C．?2,3? D．?2,3?

?4??4?【答案】D

?3?a?0?【解析】根据题意,有?a?1,解得2?a?3,所以a的取值范围是(2,3),故选D．

?(3?a)?7?3?a8?6?二、函数奇偶性的灵活应用

函数奇偶性的定义：若函数满足f?x?对于定义域的任意x,都有f??x???f?x?,则函数f?x?为奇函数；若函数满足f?x?对于定义域的任意x,都有f??x??f?x?,则函数f?x?为偶函数. 奇偶性的判断：

①看定义域是否关于原点对称；

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②看f??x?与f?x?的关系.函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：f(x)?f(?x)?0?f?x? 是奇函数；f(x)?f(?x)?0?f?x? 是偶函数 奇偶性常见的性质：

①y=f(x)是偶函数?y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数?y=f(x)的图象关于原点对称；

②若奇函数f(x)在x?0处有意义,则f(0)=0；

③奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇（设两函数的定义域分别为

D1,D2,D1?D2要关于原点对称）.

tx2?2x?t2?sinx【例2】若关于x的函数f?x??（t?0）的最大值为M,最小值为N,且

x2?tM?N?4,则实数t的值为 ．

【分析】先把f?x?分离常数,得f?x??t?2x?sinx,再由函数奇偶性确定t的值

x2?t【点评】本题对函数奇偶性的考查较为隐蔽,只有通过分离常数,才能看出f?x?是一个常数函数与一个奇函数的和,故本题对能力要求较高.

【变式2】已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)＝3x,则f(log94)的值为( )

11(A)－2 (B)? (C) (D)2

22【答案】B

【解析】根据对数性质,f(log94)＝f(log32)

因为f(x)是奇函数,于是f(log32)＝－f(－log32)＝－f(log3

1log311故f(log94)＝－f(log3)＝－32??.

2211),且log3<0 22

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三、函数单调性与奇偶性的综合应用

函数的单调性是相对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质,它反映了函数在某区间上函数值的变化趋势；函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质,主要讨论的是函数的对称性．函数的这两个基本性质应用灵活、广泛.

【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x?0时,f(x)?x2,若对任意的x?[t,t?2],不等式

f(x?t)?2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是 ．

【分析】本题已明确指出是个奇函数,故易求出它的整个解析式（一个分段函数）,此时画出它的图象,就能发现它是一个单调递增函数,难点在于题中所给不等式f(x?t)?2f(x)中,2f(x)的系数2如何处理？再次仔细观察所求函数的解析式的结构特征,发现满足：2f(x)?f(2x),最后结合单调性,转化一个恒成立问题,利用分离参数的方法求出t的范围.

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性,其中奇偶性是一个明条件,单调性是一个隐条件,作出函数