中考精品：数学压轴题汇编（含解题过程，共67页） - 图文

冲刺中考数学压轴题汇编(含解题过程)

（2009年重庆市）26．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E． （1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为

6，那么5EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

y

A E x

D B O 26题图

C 0)，D(2，2)， 26．解：（1）由已知，得C(3，?ADE?90°??CDB??BCD，

1?AE?ADtan?ADE?2?tan?BCD?2??1．

2?E(0，1)． ····························································································· （1分）

设过点E、D、C的抛物线的解析式为y?ax?bx?c(a?0)． 将点E的坐标代入，得c?1．

将c?1和点D、C的坐标分别代入，得

2?4a?2b?1?2， ······················································································ （2分） ??9a?3b?1?0.5?a????6解这个方程组，得?

13?b??6?故抛物线的解析式为y??5213·················································· （3分） x?x?1． ·

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（2）EF?2GO成立． ············································································ （4分） 点M在该抛物线上，且它的横坐标为

6， 5y ?点M的纵坐标为

12． ··········································································· （5分） 5F A E x

设DM的解析式为y?kx?b1(k?0)， 将点D、M的坐标分别代入，得

Ｍ D B 1?2k?b1?2，?k??，?? 解得2 ?6?12k?b1?.??5?b1?3．?5O G K C 1?DM的解析式为y??x?3． ······························································ （6分）

2?F(0，············································································· （7分） 3)，EF?2． ·

过点D作DK⊥OC于点K， 则DA?DK．

?ADK??FDG?90°， ??FDA??GDK．

又?FAD??GKD?90°， ?△DAF≌△DKG． ?KG?AF?1．

··························································································· （8分） ?GO?1． ·

?EF?2GO． （3）

，0)，C(3，0)，则设P(1，2)． 点P在AB上，G(1?PG2?(t?1)2?22，PC2?(3?t)2?22，GC?2．

①若PG?PC，则(t?1)?2?(3?t)?2，

22222)，此时点Q与点P重合． 解得t?2．?P(2，?Q(2，2)． ···························································································· （9分）

②若PG?GC，则(t?1)?2?2，

2?2，2)，此时GP⊥x轴． 解得 t?1，?P(1GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，

?点Q的纵坐标为

7． 3第 2 页 共 67 页

?7??Q?1，?． ························································································ （10分）

?3?③若PC?GC，则(3?t)?2?2，

解得t?3，?P(3，2)，此时PC?GC?2，△PCG是等腰直角三角形． 过点Q作QH⊥x轴于点H，

y 则QH?GH，设QH?h，

Q A E P Q (Q) (P) D B (P) 222?Q(h?1，h)．

513??(h?1)2?(h?1)?1?h．

667解得h1?，h2??2（舍去）．

5?127??Q?，?． ····································· （12分）

55??综上所述，存在三个满足条件的点Q，

O G H C x

即Q(2，2)或Q?1，?或Q?

?7??3??127?，?． ?55?（2009年重庆綦江县）26．（11分）如图，已知抛物线y?a(x?1)2?33(a?0)经过点

A(?2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交

射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s)．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC?OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止

M y 运动．设它们的运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？D C 并求出最小值及此时PQ的长．

P

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A O Q B x

*26．解：（1）

2抛物线y?a(x?1)?33(a?0)经过点A(?2，0)，

?0?9a?33?a??3 ·············································································· 1分 3322383x?x? ··········································· 3分 333?二次函数的解析式为：y??（2）

33)过D作DN?OB于N，则DN?33， D为抛物线的顶点?D(1，··········································· 4分 AN?3，?AD?32?(33)2?6??DAO?60° ·

OM∥AD

①当AD?OP时，四边形DAOP是平行四边形

········································· 5分 ?OP?6?t?6(s) ·

y D M C ②当DP?OM时，四边形DAOP是直角梯形

A H P B x 过O作OH?AD于H，AO?2，则AH?1 O E N Q （如果没求出?DAO?60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA求AH?1） ··············································································· 6分 ?OP?DH?5t?5(s) ·

③当PD?OA时，四边形DAOP是等腰梯形 ?OP?AD?2AH?6?2?4?t?4(s)

综上所述：当t?6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． · 7分

（3）由（2）及已知，?COB?60°，OC?OB，△OCB是等边三角形

?OQ?6?2t(0?t?3) 则OB?OC?AD?6，OP?t，BQ?2t，过P作PE?OQ于E，则PE?3t ······························································· 8分 2113?SBCPQ??6?33??(6?2t)?t

2223?3?63=··················································································· 9分 3 ·?t???2?2?8当t?23633 ·时，SBCPQ的面积最小值为························································ 10分

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