对数函数与指数函数的导数(二

导数及其应用 备课人：蒋德鸿

第十一课时

课 题

3.5.2 对数函数与指数函数的导数（二） ——指数函数的导数 教学目标 一,教学知识点

指数函数的导数的两个求导公式：（ex）′=ex，（ax）′=axlna. 二,能力训练要求

1.理解掌握指数函数的导数的两个求导公式.

2.在学习了函数的四则运算的求导法则与复合函数的求导法则的基础上，应用指数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数.

三,德育渗透目标

培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.

教学重点

结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，以及四种基本初等函数的求导公式，应用指数函数的求导公式.

教学难点

指数函数的求导公式的记忆，以及指数函数的求导公式的应用. 教学方法 讲练结合. 教学过程 Ⅰ.课题导入

［师］先复习一下四种基本初等函数的求导公式：常数函数，幂函数，三角函数，对数函数.

［生］C′=0（C是常数）,（xn）′=nxn-1（n∈R）, （sinx）′=cosx,（cosx）′=-sinx, （lnx）′=

11,（logax）′=logae. xx

［师］这节课要学习第五种基本初等函数的求导公式，就是指数函数的求导公式.Ⅱ.讲授新课

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（一）指数函数的导数 ［板书］1.（1）（ex）′=ex; （2）（ax）′=axlna.

［师］这两个公式的证明需要用到反函数的求导法则，这超出了目前的学习范围，所以这里就不再证明.只需记住它的结论:以e为底数的指数函数的导数是它本身，以a为底数的指数函数的导数是它的本身乘以lna.我们利用这两个公式就可以求一些关于指数函数的导数了.

（二）课本例题

［例3］求y=e2xcos3x的导数.

［分析］ 该题先要用到两个函数乘积的求导法则，再要用到复合函数的求导法则. 解：y′=（e2x）′cos3x+e2x（cos3x）′ =e2x（2x）′cos3x+e2x（-sin3x）（3x）′ =2e2xcos3x-3e2xsin3x =e2x（2cos3x-3sin3x）. ［例4］求y=a5x的导数.

［分析］该题只需用复合函数的求导法则. 解：y′=（a5x）′=a5xlna·（5x）′=5a5xlna.（三）精选例题

［例1］求函数y=e-2xsin3x的导数.

［学生分析］先用积的求导法则，（uv）′=u′v+uv′,再用复合函数的求导法则求导，y′x=y′u·u′x.

［学生板演］解：y′=（e-2x）′sin3x+e-2x·（sin3x）′ =e-2x（-2x）′sin3x+e-2xcos3x（3x）′ =-2e-2xsin3x+3e-2xcos3x

=e-2x（3cos3x-2sin3x）.

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e?2x

［例2］求y=的导数.

sin3x

［学生分析］先用商的求导法则,（y′x=y′u·u′x.

uu?v?uv?）′=，再用复合函数的求导法则求导,2vve?2x

［学生板演］解：y′=（）′

sin3x

(e?2x)?sin3x?e?2x(sin3x)?= 2(sin3x)e?2x(?2)sin3x?e?2xcos3x?3= 2sin3x?e?2x(2sin3x?3cos3x)=.

sin23x［例3］求y=xsinx的导数. ［学生板演］两边取对数， lny=lnxsinx=sinx·lnx, 两边对x求导,

y?1=cosx·lnx+sinx·.

xysinx）y xsinx=（cosxlnx+）·xsinx.

x∴y′=（cosxlnx+

［师］这是我们上节课学习的解这类题的方法.我们今天学习了指数函数的求导公而任何一个函数y=f（x）都可以用指数函数的形式y=a我们取a=e.

∴y=elnf

（x）

式.

logaf(x)表示出来，为了方便起见，

.这道题转化成指数函数的形式怎么做呢？

［学生板演］解：由所给函数知x＞0, ∵y=xsinx=e

lnxsinxlnx

=esinx·,

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lnxlnx

∴y′=（esinx·）′=esinx··（sinx·lnx）′

sinx） xsinx=xsinx（cosx·lnx+）.

xlnx

=esinx·（cosx·lnx+

［师］当用第二种方法求导的时候，要说明一下x＞0，∵xsinx是幂函数的形式，∴x＞0，否则xn（x＜0时）没有导数.而xsinx＞0，∴在用第一种方法求导时，等于默认了y＞0. ［师生共同总结］形如［u（x）］vx的幂指函数，可以用两种方法求导：其一，是两边取对数后再对x求导；其二，是把它化成指数函数与其他函数复合.

（）

［例4］求y=32xlg（1-cos2x）的导数. 解法一：y=32xlg（1-cos2x） =9xlg（1-cos2x）,

y′=9x·ln9·lg（1-cos2x）+9x·+9x·lge·（1-cos2x）′=9x·ln9·lg（1-cos2x）

1?cos2xlge·sin2x·2.

1?cos2x=9x·ln9·lg（1-cos2x）+2·9x·lge·2sinxcosx 22sinx

=9x·2ln3·lg（1-cos2x）+2·9x·lge·cotx=2·9x［ln3·lg（1-cos2x）+lge·cotx］.

解法二：y′=（32x）′lg（1-cos2x）+32x·［lg（1-cos2x）］′ =32x·ln3·2lg（1-cos2x）+32x·lge·sin2x·2

1?cos2x

=2·32xln3·lg（1-cos2x）+2·32xlge·cotx

=2·32x［ln3·lg（1-cos2x）+lge·cotx］. ［例5］求y=f（ex）ef解：y′=［f（ex）］′ef=f′（ex）·exef=ef

（x）

（x）

（x）

的导数，其中

（x）

f（x）为可导函数.

（x）

+f（ex）·［ef

（x）

］′

+f（ex）·ef

·f′（x）

［f′（ex）ex+f（ex）·f′（x）］.

x［例6］求y=2x的导数.