(最新版)反例在数学中的应用毕业设计

?11??11??32?BA????????

?12??21??53?故，即矩阵不适合乘法交换律．

2. 矩阵的乘法不满足消去律：，未必有． 例 取

，，

显然

，

而．

3. 一般情况下，． 例 取

，

则

，(AB)2???3?1??3?1??6?31????31?????12，，，

所以

故并不是恒成立的．

只要，就有．

4. 定理 设和是数域上的两个矩阵，那么． 那么，是否也成立？答案是不成立，存在反例．

例 阶矩阵

，

，而，故不成立．

5. 阶矩阵，，且，，未必有．

例 当时，取

，

有 ，， 但是

?4??2?，?

．

对称阵中的反例

1. 对称阵之和仍为对称阵，对称阵之积未必是对称阵。 例

，

则

，

不是对称阵．

2. 实对称阵和对角阵相似，但和对角阵相似的未必对称． 例 取

， ，

有，即与相似，是对角阵，而不是对称阵．

3. 反对称矩阵是指满足条件的矩阵，那么反对称矩阵之积未必是反 对称矩阵．

例

，

均为反对称矩阵．而

，

当，时，是对称阵，但不是反对称矩阵．

正定阵中的反例

1. 正定阵的和还是正定阵，但正定阵的差未必是正定阵．

例

，

都是正定阵，但 不是正定阵．

2. 正定阵的积未必是正定阵． 例

，

都是正定阵． 而

不是正定阵．

3. 是正定阵，则的主对角线上元素都大于零．但反之不真． 例

，

都不是正定阵．

正交阵中的反例

正交阵[2]是指满足条件的阶实数矩阵．

1. 我们知道正交阵之积仍为正交阵，那么正交阵之和是不是正交阵？ 例 以下两个阶矩阵

，

都是正交矩阵，因为，，但 而

?0???0????E (A?B)?(A?B)??4??????4???所以正交阵的和不一定是正交阵．

2. 若是正交阵，则，但反之不真． 例

，，

而，

，

，都不是正交阵．

等价矩阵、合同矩阵、相似矩阵

定义1.2 设是数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵，使得，就说相似于．

定义1.3 矩阵与称为等价的，如果可以由经过一系列初等变换得到．

定义1.4 数域上矩阵，成为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使

．

1. 合同矩阵一定是等价矩阵，但反之不真． 例 取 与等价，因为

假设与合同，即存在可逆矩阵，使得． 设

，

则

，

故

?ac??10??ab??ac??ab??a2?c2C?AC???bd????01????cd?????bd????cd?????ab?cd则

，（矛盾），

故不存在可逆阵，则与不是合同的．

2. 相似矩阵一等是等价矩阵，但反之不真． 例 仍取 则与等价．

若与相似，则存在可逆阵，使得，又，故与不相似． 3. 相似矩阵未必合同． 例

，，

则取

，，

可得，即与相似．

假设与合同，设 则

ab?cd?b2?d2??