SAS学习系列37.-时间序列分析Ⅰ—平稳性及纯随机性检验

（3）自相关阵为对称负定阵； （4）非唯一性。

注意：协方差函数和相关函数——度量两个不同事件（Xt，Yt）彼此之间的相互影响的程度。

自协方差函数和自相关函数——度量用一事件（Xt）在两个不同时期之间的相互影响的程度。

三、样本估计值

总体均值的估计值：

延迟k自协方差函数的估计值：

总体方差的估计值：

延迟k自相关函数的估计值：

四、平稳性检验

（1）时序图检验

若无明显的趋势性和周期性，则平稳； （2）自相关图检验

零均值平稳序列的自相关函数要么截尾要么拖尾；若时间序列零均值化后出现缓慢衰减或周期性衰减，则说明存在趋势性和周期性（非平稳）；

（3）单位根检验就是通过检验时间序列自回归特征方程的特征根是在单位圆内（平稳）还是在单位圆及单位圆外（非平稳）。通常用ADF检验法。

Dickey和Fuller (1979)利用如下的广义自回归模型

其中，Δxj,t表示x的一阶差分；xj,t-1表示延迟一期；Δxj,t-k表示延迟k期再一阶差分；εk,t表示扰动项。

上述回归模型生成的xj,t-1的t值正好对应ADF统计量，做假设检验：H0: 非平稳；H1：平稳。t值在1%, 5%, 10% 置信水平的临界值分别为：-3.524233, -2.902358, -2.588587. 以此判断序列是否平稳。

注：若Xt不平稳，可以依次对Xt做一阶、二阶…差分，直到序列平稳。

例1. 平稳性检验——ADF检验的SAS实现。 代码：

data simulation; do i=1 to 100; x=rannor(1234); output; end; run;

data timeseries; set simulation;

x_1st_lag= lag1(x); x_1st_diff= dif1(x);

x_1st_diff_1st_lag= dif1(lag1(x)); x_1st_diff_2nd_lag= dif1(lag2(x)); x_1st_diff_3rd_lag= dif1(lag3(x)); x_1st_diff_4th_lag= dif1(lag4(x)); x_1st_diff_5th_lag= dif1(lag5(x)); run;

proc reg data=timeseries;

model x_1st_diff = x_1st_lag x_1st_diff_1st_lag x_1st_diff_2nd_lag x_1st_diff_3rd_lag x_1st_diff_4th_lag x_1st_diff_5th_lag; run;

运行结果：

REG 过程 模型: MODEL1 因变量: x_1st_diff 读取的观测数 使用的观测数 具有缺失值的观测数

方差分析 源 模型 误差 自由度 平方和 均方 F 值 Pr > F <.0001 100 94 6 6 111.38082 18.56347 15.25 87 105.88424 1.21706 方差分析 源 校正合计

均方根误差 因变量均值 变异系数 参数估计值 变量 Intercept x_1st_lag x_1st_diff_1st_lag x_1st_diff_2nd_lag x_1st_diff_3rd_lag x_1st_diff_4th_lag x_1st_diff_5th_lag 自由度 参数估计值 1 1 1 1 1 1 1 -0.01634 -0.70975 -0.26217 -0.15780 -0.01973 0.07067 0.00340 标准误差 t 值 Pr > |t| 0.8866 0.0011 0.1759 0.3806 0.9040 0.6134 0.9745 1.10320 R 方 0.5126 0.02507 调整 R 方 0.4790 4399.76165 自由度 平方和 均方 F 值 Pr > F 93 217.26507 0.11418 -0.14 0.20949 -3.39 0.19212 -1.36 0.17907 -0.88 0.16308 -0.12 0.13938 0.51 0.10591 0.03 x_1st_lag的t值 = -3.39 < t0.05=-2.902358, （或从P值 = 0.0011 < 0.05判断）故拒绝原假设H0，即序列平稳。

五、纯随机性检验

若序列值彼此之间没有任何相关性，即过去的行为对未来的发展没有丝毫影响，此时称为纯随机序列。

从统计分析的角度而言，纯随机序列是没有任何分析价值的序列。因此，为了确保平稳序列还值不值得分析，还需要对平稳序列进行纯随机性检验。

1. 纯随机序列（白噪声序列）

若对任取的时间t和s，时间序列Xt满足：