SAS学习系列37.-时间序列分析—平稳性及纯随机性检验

37. 时间序列分析Ⅰ—平稳性及纯随机性检验

（一）基本概念

一、什么是时间序列？

为了研究某一事件的规律，依据时间发生的顺序将事件在多个时刻的数值记录下来，就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的发展趋势就是时间序列分析。

例如，国家或地区的年度财政收入，股票市场的每日波动，气象变化，工厂按小时观测的产量等等。

注：随温度、高度等变化而变化的离散序列，也可以看作时间序列。

二、时间序列的特点

（1）顺序性； （2）随机性；

（3）前后时刻（不一定相邻）的依存性； （4）整体呈趋势性和周期性。 三、时间序列的分类

按研究对象的数目：一元时间序列、多元时间序列； 按序列统计特性：平稳时间序列、非平稳时间序列； 按分布规律：高斯时间序列、非高斯时间序列。 四、研究方法

1. 平稳时间序列分析；

2. 非平稳时间序列分析（确定性分析、随机性分析）。

五、其它

任何时间序列经过合理的函数变换后都可以被认为是由下列三部分叠加而成：

（1）趋势项部分； （2）周期项部分；

（3）随机项部分（随机信号、随机噪声）

图1. 四种趋势：线性、二次、指数增长、S型

例如，手机销售的月记录按年增长（趋势项）；按季节周期波动（周期项）；随机信号和随机噪声。

时间序列分析的主要任务就是：上面三部分分解出来，是研究平稳随机过程的变化规律，建立特定的ARIMA 模型（要求大体平稳、可能含有周期但不能有规则性的线性指数等类型趋势项）。

六、方法性工具

1. 差分运算 （1）k步差分

间隔k期的观察值之差：Δk=xt-xt-k （2）p阶差分

Δxt=xt-xt-1称为一阶差分；

?xt??pp?1xt??p?1xt?1??(?1)iCipxt?p?i称为p阶差分；

i?0pSAS函数实现：diffn(x ) 2. 延迟算子

延迟算子作用于时间序列，时间刻度减小1个单位（序列左移一位）： Bxt=xt-1, ……, Bpxt=xt-p.

SAS函数实现：lagn(x)

用延迟算子表示k步差分和p阶差分为：

Δk=xt-xt-k=(1-Bk) xt

?xt?(I?B)??(?1)pCipxt?i

ppi?0p

（二）平稳时间序列

一、概念

平稳时间序列按限制条件的严格程度，分为

严平稳时间序列：序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化；

宽平稳时间序列：序列的主要性质近似稳定，即统计性质只要保证序列的二阶矩平稳，即对任意的时间t，s，k，序列Xt满足：

二、平稳时间序列的统计性质

（1）均值为常数；

（2）自协方差只依赖于时间跨度； 若定义自协方差函数为

γ(t,s) = E(Xt-μt)( Xs-μs)

则可由二元函数简化为一元函数γ(t-s)，得延迟k自协方差函数：

γ(k)= γ(t,t+k)

由此易知平稳时间序列必具有常数方差：

D(Xt)= E(Xt-μt)2=γ(t,t)= γ(0)

时间序列自相关函数：

?(t,s)?延迟k自相关函数：

E(Xt??t)(Xs??s)

DXt?DXs?(k)?基本性质：

E(Xt??t)(Xt?k??t?k)?(k)?(k)??

DXt?DXt?k?(0)??(0)?(0)（1）ρ(0)=1; （2）ρ(-k)= ρ(k);