不定积分教案

高等数学教案 第四章 不定积分

教学目的：

第四章 不定积分

1、 理解原函数概念、不定积分的概念。

2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）

与分部积分法。

3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点：

1、 不定积分的概念； 2、 不定积分的性质及基本公式； 3、 换元积分法与分部积分法。 教学难点：

1、换元积分法； 2、分部积分法；

3、三角函数有理式的积分。 §4? 1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念

定义1 如果在区间I上? 可导函数F(x)的导函数为f(x)? 即对任一x?I? 都有

F ?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx?

那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数? 例如 因为(sin x)??cos x ? 所以sin x 是cos x 的原函数? 又如当x ?(1? ??)时?

因为(x)??1? 所以x是1的原函数?

2x2x 提问:

cos x和1还有其它原函数吗？

2x 原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续? 那么在区间I上存在可导函数F(x)? 使对任一x ?I 都有

F ?(x)?f(x)?

简单地说就是? 连续函数一定有原函数? 两点说明?

第一? 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)? 那么f(x)就有无限多个原函数? F(x)?C都是f(x)的原函数? 其中C是任意常数?

第二? f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数? 即如果?(x)和F(x)都是f(x)的原函数? 则 ?(x)?F(x)?C (C为某个常数)?

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高等数学教案 第四章 不定积分

定义2 在区间I上? 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分? 记作

?f(x)dx?

其中记号?称为积分号? f(x)称为被积函数? f(x)dx称为被积表达式? x 称为积分变量?

根据定义? 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数? 那么F(x)?C就是f(x)的不定积分? 即

?f(x)dx?F(x)?C?

因而不定积分?f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数? 例1??因为sin x 是cos x 的原函数???所以 ?cosxdx?sinx?C? 因为x是1的原函数???所以

2x

例2. 求函数f(x)?1的不定积分?

x 解：当x>0时???(ln x)??1??

x ?1 dx?lnx?C(x>0)??

x 当x<0时???[ln(?x)]??1?(?1)?1??

?xx ?1 dx?ln(?x)?C(x<0)??

x 合并上面两式???得到 ?1 dx?ln|x|?C(x?0)??

x 例3 设曲线通过点(1? 2)? 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍? 求此曲线的方程?

解 设所求的曲线方程为y?f(x)? 按题设? 曲线上任一点(x? y)处的切线斜率为y??f ?(x)?2x,

,

即f(x)是2x 的一个原函数? 因为 ?2xdx?x2?C?

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?21dx?x?C? x高等数学教案 第四章 不定积分

故必有某个常数C使f(x)?x 2?C? 即曲线方程为y?x 2?C? 因所求曲线通过点(1? 2)? 故

2?1?C? C?1?

于是所求曲线方程为y?x2?1?

积分曲线? 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线? 从不定积分的定义? 即可知下述关系? d[?f(x)dx]?f(x)?

dx或 d[?f(x)dx]?f(x)dx?

又由于F(x)是F ?(x)的原函数? 所以 ?F?(x)dx?F(x)?C? 或记作 ?dF(x)?F(x)?C?

由此可见? 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算? 以记号?表示）是互逆的? 当记号?与d 连在一起时? 或者抵消? 或者抵消后差一个常数? 二、基本积分表 (1)?kdx?kx?C(k是常数)? (2)?x?dx?1x??1?C?

??1(3)?1dx?ln|x|?C?

x(4)?exdx?ex?C?

x(5)?axdx?a?C?

lna(6)?cosxdx?sinx?C? (7)?sinxdx??cosx?C? (8)?(9)?1dx?sec2xdx?tanx?C?

?cos2x1dx?csc2xdx??cotx?C? ?sin2x高等数学课程建设组3

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(10)?12dx?arctanx?C?

1?x(11)?1dx?arcsinx?C? 1?x2(12)?secxtanxdx?secx?C? (13)?cscxcotdx??cscx?C? (14)?sh x dx?ch x?C? (15)?ch x dx?sh x?C? 例4 例5

?x3dx??x?3dx??3?1x?3?1?C??2x2?C?

?x2111xdx??5x2dx7?1122?x?C?x2?C?2x3x?C?

5?17725?? 例6 ?dxx3x?4x3dx??4?1x3?4?13?C?1??3x3?C??33?C?

x 三、不定积分的性质

性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和? 即 ?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx?

这是因为, [?f(x)dx??g(x)dx]??[?f(x)dx]??[?g(x)dx]??f(x)?g(x).

性质2 求不定积分时? 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来? 即 ?kf(x)dx?k?f(x)dx(k是常数? k ?0)? 例7.

?x(x?5)dx??5x2dx?725(x21?5x2)dx 5x2dx?51x2dx

???15x2dx3???22 ?x2?5?x2?C?

7332(x?1)3x?3x?3x?1dx?(x?3?3?1)dx 例8 ?dx???22xx2xx ??xdx?3?dx?3?1dx??12dx?1x2?3x?3ln|x|?1?C?

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