2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷(解析版)

①求函数h（x）=f （x）﹣g （x）的单调区间； ②若函数F（x）=

的值域为R，求实数m的取值范围；

（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）=f（x2），且|x1﹣x2|≥1，求证：e﹣1≤a≤e2﹣e．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）①求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

②求出函数的导数，通过讨论m的范围得到函数的值域，从而确定m的具体范围即可；

（2）求出函数f（x）的导数，得到a＞0且f（x）在（﹣∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．

【解答】解：（1）a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣1，

①h（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣2x﹣1，h′（x）=ex﹣2， 由h′（x）＞0，得x＞ln2，由h′（x）＜0，解得：x＜ln2， 故函数h（x）在（ln2，+∞）递增，在（﹣∞，ln2）递减； ②f′（x）=ex﹣e，

x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，1）递减， x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增，

m≤1时，f（x）在（﹣∞，m]递减，值域是[em﹣em﹣1，+∞）， g（x）=（2﹣e）x在（m，+∞）递减，值域是（﹣∞，（2﹣e）m）， ∵F（x）的值域是R，故em﹣em﹣1≤（2﹣e）m， 即em﹣2m﹣1≤0，（*），

由①可知m＜0时，h（x）=em﹣2m﹣1＞h（0）=0，故（*）不成立，

∵h（m）在（0，ln2）递减，在（ln2，1）递增，且h（0）=0，h（1）=e﹣3＜0，

∴0≤m≤1时，h（m）≤0恒成立，故0≤m≤1； m＞1时，f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，m]递增，

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故函数f（x）=ex﹣ex﹣1在（﹣∞，m]上的值域是[f（1），+∞），即[﹣1，+∞），

g（x）=（2﹣e）x在（m，+∞）上递减，值域是（﹣∞，（2﹣e）m）， ∵F（x）的值域是R，∴﹣1≤（2﹣e）m，即1＜m≤综上，m的范围是[0，

]；

，

（2）证明：f′（x）=ex﹣a，

若a≤0，则f′（x）＞0，此时f（x）在R递增， 由f（x1）=f（x2），可得x1=x2，与|x1﹣x2|≥1矛盾， ∴a＞0且f（x）在（﹣∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，

若x1，x2∈（﹣∞，lna]，则由f（x1）=f（x2）可得x1=x2，与|x1﹣x2|≥1矛盾，

同样不能有x1，x2∈[lna，+∞），

不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，

∵f（x）在（x1，lna）递减，在（lna，x2）递增，且f（x1）=f（x2）， ∴x1≤x≤x2时，f（x）≤f（x1）=f（x2）， 由0≤x1＜x2≤2且|x1﹣x2|≥1，得1∈[x1，x2]， 故f（1）≤f（x1）=f（x2），

又f（x）在（﹣∞，lna]递减，且0≤x1＜lna，故f（x1）≤f（0）， 故f（1）≤f（0），同理f（1）≤f（2）， 即

∴e﹣1≤a≤e2﹣e．

20．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 （n+1）bn=an+1﹣（n+2）cn=

﹣

，其中n∈N*．

，

，解得：e﹣1≤a≤e2﹣e﹣1，

（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；

（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．

【考点】等差关系的确定；数列递推式．

【分析】（1）数列{an}是公差为2的等差数列，可得an=a1+2（n﹣1），

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=a1+n

﹣1．代入（n+2）cn=（2）由（n+1）bn=an+1﹣

﹣即可得出cn．

，可得：n（n+1）bn=nan+1﹣Sn，（n+1）（n+2）bn+1=

an+2﹣Sn+1，an+2﹣an+1=bn+1﹣nbn，（n+1）相减可得：（n+2）代入化简可得cn=（bn+bn

﹣1

）．bn≤λ≤cn，λ≤cn=（bn+bn﹣1）≤λ，故bn=λ，cn=λ．进而得出．

=a1+n

【解答】（1）解：∵数列{an}是公差为2的等差数列，∴an=a1+2（n﹣1），﹣1． ∴（n+2）cn=

（2）证明：由（n+1）bn=an+1﹣

﹣（a1+n﹣1）=n+2，解得cn=1． ，

可得：n（n+1）bn=nan+1﹣Sn，（n+1）（n+2）bn+1=（n+1）an+2﹣Sn+1， 相减可得：an+2﹣an+1=（n+2）bn+1﹣nbn， 可得：（n+2）cn==

+（n+1）bn=

﹣

=

﹣[an+1﹣（n+1）bn] +（n+1）bn=

（bn+bn﹣1），

因此cn=（bn+bn﹣1）．∵bn≤λ≤cn， ∴λ≤cn=（bn+bn﹣1）≤λ，故bn=λ，cn=λ． ∴（n+1）λ=an+1﹣

，（n+2）λ=（an+1+an+2）﹣

，

相减可得：（an+2﹣an+1）=λ，即an+2﹣an+1=2λ，（n≥2）． 又2λ=

数学附加题[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]

21．如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．

=a2﹣a1，则an+1﹣an=2λ（n≥1），∴数列{an}是等差数列．

（1）若BC是圆O的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM的长度； （2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB=2AC，求证：BN=2MN．

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【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】（1）由切割线定理可得BC2=BM?BA．由此可得方程，即可求线段AM的长度；

（2）证明△BMN∽△BCA，结合AB=2AC，即可证明：BN=2MN． 【解答】（1）解：由切割线定理可得BC2=BM?BA． 设AM=t，则

∵AB=8，BC=4，∴16=8（8﹣t）， ∴t=6，即线段AM的长度为6；

（2）证明：由题意，∠A=∠MNB，∠B=∠B， ∴△BMN∽△BCA， ∴

=

，

∵AB=2AC， ∴BN=2MN．

[选修4-2：矩阵与变换]

22．设a，b∈R．若直线l：ax+y﹣7=0在矩阵A=到的直线为l′：9x+y﹣91=0．求实数a，b的值． 【考点】几种特殊的矩阵变换．

【分析】方法一：任取两点，根据矩阵坐标变换，求得A′，B′，代入直线的直线为l′即可求得a和b的值；

方法二：设P（x，y），利用矩阵坐标变换，求得Q点坐标，代入直线为l′，由ax+y﹣7=0，则

==

，即可求得a和b的值．

对应的变换作用下，得

【解答】解：方法一：在直线l：ax+y﹣7=0取A（0，7），B（1，7﹣a），

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